Bjr je suis en maths sup a saint germain j'ai un exercice de polynomes a faire dont voila l'énoncé :

On associe a tout polynome P a coefficients reels le polynome L(P) défini par: L(P) = -X*P'' + (X-1)*P'

1) Soit E l'espace vectoriel des polynomes a coefficients reels de degré inferieur ou égal a 3. Montrer que L est un endomorphisme de E.

2) Déterminer le noyau de L, puis son image. On donnera ces ensembles sous la forme de sous-espaces vectoriels engendrés par une partie de E.

3) Déterminer une suite de polynomes unitaires de degré k (P[k]) 0<ou=k<ou=3 telle que :
pour tout 0<ou=k<ou=3    L(P[k]) = k*P[k]
(# la notation P[k] signifie P indice k dslé)
  Montrer que tout polynome de E s'écrit de facon unique sous la forme:
P = (somme de k=0 a 3) de a[k]P[k]   avec a[k] appartenant a R

4) On s'interesse maintenant a la recherche de solutions polynomiales P de l'équation :
L(P) - µP = Q avec µ de R et Q de E fixés (*)

a) On décompose Q=a[0]P[0]+a[1]P[1]+a[2]P[2]+a[3]P[3] et on recherche P sous la forme P=b[0]P[0]+b[1]P[1]+b[2]P[2]+b[3]P[3]. Etablir les relations entre les coefficients
(a[k]) et (b[k])  pour 0<ou=k<ou=3

b) Montrer que si µ n'appartient pas a {0,1,2,3}, il existe une solution unique pour tout Q et donner son développement comme combinaison linéaire des P[k] et en fonction de (a[k]) pour 0<ou=k<ou=3.

c)Si µ appartient a {0,1,2,3}, quelle condition doit vérifier Q pour qu'il existe une solution ? Déterminer alors toutes les solutions de (*) par leur ecriture en fonction des P[k].

d) On prend µ=2 et Q=-28 + 118X - 63X^2 + 7X^3
Montrer qu'il existe une unique solution P de l'équation (*) telle que P(0)=0. Déterminer cette solution sous la forme : b[0]P[0]+b[1]P[1]+b[2]P[2]+b[3]P[3].

5) Montrer que P3 possède 3 racines distinctes dans l'intervalle ]0,+infini[, dont une dans l'intervalle ]0,1[ et une dans l'intervalle ]3,+infini[.


Voila voila...
1) pas de probleme
2) Ker(L)=Vect(1)
   Pour Im(L) je trouve des conditions sur les coeff mais je n'arrive pas a mettre sous la forme demandée.
3) J'ai calculé P[0], P[1],P[2] et P[3] mais je ne comprend pas ce qui est demandé.
4)a) j'ai 4 equations entre les a[k], b[k] et µ mais je ne sais pas si cela suffit elles sont assez longues...
b) c) d) pas reussi
5) non plus...

Merci d'avance pour l'aide