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Niveau autre
Polynômes
Posté par Marion8
Bonjour!
Bon et bien j'ai besoin de votre aide sur l'exercice suivant:
On considère la suite (Tn)n
de polynômes de 
[X] définie par:
T0(X)=1 , T1(X)=2X et pour tout n Tn+2(X)=2XTn+1(X)-Tn(X)
1-Déterminer les polynômes T2 et T3. Jusque là ça va...
2-Démontrer que pour tout n; Tn est un polynôme de degré n dont on déterminera le coefficient dominant. (Ici je vois que le degré est n grâce à la question 1 mais je ne vois pas comment le démontrer. Même chose pour le coefficient...)
3-Montrer que si n est un entier pair (respectivement impair) alors la fonction polynômiale x
Tn(x) est pair (respectivement impair) sur .
4-Pour tout n calculer Tn(1) en fonction de n.
5-Montrer que pour tout n et tout réel 
]0,
[
tn(cos())=[sin((n+1))]/sin().
6-En déduire que pour tout entier naturel n non nul, Tn admet n racines réelles toutes situées dans ]-1,1[ que l'on explicitera.
7-En déduire que pour tout n* la factorisation du polynôme Tn dans [X].
8-En déduire que pour tout n* la valeur de 
k=1nsin((k/(2(n+1))en fonction de n.
9-Démontrer que pour tout n et pour tout réel ]0,[:
sin²().Tn''(cos())-3cos().Tn'(cos())+(n²+2n).Tn(cos())=0.
10-En déduire pour tout n: (X²-1).Tn''(X)+3X.Tn'(X)-(n²+2n).Tn(X)=0(polynôme nul)
Voilà! Je vous préviens il faut être patient avec moi!^^' Merci à ceux qui m'aideront tout de même!
Marion
Bonjour,
2. Tu peux le démontrer par récurrence :
- initialisation : T0 est bien de degré 0 et T1 de degré 1 (il faut les deux, vu ce qui suit)
- hérédité : en admettant que Tn est de degré n et Tn+1 de degré n+1, on montre facilement que Tn+2 est de degré n+2 (et en passant que son terme de degré n+2 vient exclusivement du terme de degré le plus élevé de Tn+1, et en dérive par multiplication par 2x).
Oh là là ! Je répondais oui au message précédent , pas à celui-ci : tu utilises simplement la définition de Tn+2
Oui mais je me suis servie de cette définition pour avoir Tn si je pose Tn+2 ce ne sera pas plus compliqué? Je dois donc poser directement Tn+2 laisser l'expression telle quelle?
NB: il faut que tu te sentes absolument convaincue, d'une façon générale, que :
"Tn+2 est de degré n+2 quel que soit (n+2)" est parfaitement équivalent à "Tn est de degré n quel que soit n"
Oui en fait les deux chemins sont possibles mais il vaudrait mieux que je parte de Tn+2 c'est bien ça?
Bonsoir
Marion, tu as fait très récemment un problème très semblable 
Polynômes
Tu ne peux pas t'en inspirer?
Oui je l'ai bien regardé mais c'est très différent la manière d'y arriver... et on s'aide d'une récurrence avec des cosinus alors qu'ici on s'attaque directement aux expressions de l'énoncé...
C'est bon ma question était bête en fait! ^^' Mais c'est bon j'ai compris! =) Pour le coefficient dominant il semble que se soit 2n comment puis-je le prouver?
Je sais que 
x Tn(-x)=-Tn(x) si n impaire et Tn(-x)=Tn(x) si n est pair mais comment puis-je m'en sortir avec ça? S'il vous plaît...
- initiation : T0 est ... , T1 est ...
- hérédité : j'admets T2p est ... et T2p+1 est ... ; alors je montre que T2p+2 = 2xT2p+1-T2p est ... et que T2p+3 = 2xT2p+2-T2p+1 est ...