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polynômes

Posté par yonyon (invité) 20-12-05 à 15:07

Bonjour, j'ai un pb avec l'exo suivant:
Soit n :in: :N: et soit A=(X+1)^{2n}-1 un polynôme de :R:[X]
1) Montrer que l'on peut écrire A=XB où B est un polynôme de :R:[X] dont on précisera le degré, le coefficient dominant et le terme constant qu'on notera b_0.
Voici ce que j'ai fait:
A=[(X+1)^n+1][(X+1)^n-1]=[(\Bigsum_{k=0}^n {n \choose k} X^k)+1][(\Bigsum_{k=0}^n {n \choose k} X^k)-1]=[(\Bigsum_{k=0}^n {n \choose k} X^k)+1][\Bigsum_{k=0}^{n-1} {n \choose k+1} X{k+1}]=[(\Bigsum_{k=0}^n {n \choose k} X^k)+1][\Bigsum_{k=0}^{n-1} {n \choose k+1} X^k]X
d'où B=[(\Bigsum_{k=0}^n {n \choose k} X^k)+1][\Bigsum_{k=0}^{n-1} {n \choose k+1} X^k]
donc B est de degré n+n-1=2n-1, de coefficient dominant 1 (comment le justifier rigoureusement?) et de terme constant b_0=n (comment le justifier?)
2) Déterminer les racines de A dans :C:. On appellera z_0 la racine nulle et on mettra les autres racines z_1,...,z_{2n-1} sous forme trigonométrique.
Je vois pas trop comment m'y prendre, la seule factorisation que j'arrive à faire est d'écrire A=BX comme fans la question 1, mais je ne peux pas en déduire les racines.
3) On pose \Bigprod_{k=1}^{n-1}sin(kpi/2n). Montrer à l'aide d'un changement d'indice que        P_n= \Bigprod_{k=n+1}^{2n-1}sin(kpi/2n). En déduire que si Q_n=\Bigprod_{k=1}^{2n-1}sin(kpi/2n), alors P_n=\sqrt{Q_n}
Lorsque je fais mon changement  d'indice, j'arrive à :
P_n= \Bigprod_{k=n+1}^{2n-1}sin[(kpi/2n)-pi/2]. mais je n'arrive pas à trouver le résultat demandé
4) Calculer de deux façons \Bigprod_{k=n+1}^{2n-1}z_k. En déduire Q_n puis R_n.
Je ne vois pas comment faire

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
kaiser Moderateurre : polynômes 20-12-05 à 19:46

Bonsoir yonyon

1)T'as pas besoin de factoriser. Tu peux très bien développer par la formule du binôme. Tes intuitions concernant le coefficient dominant, le degré et le coefficient constant de B.(d'ailleurs, tu t'apercevras qu'il faut 2n et non pas n)

2)Considère z une racine du polynôme B. C'est donc aussi une racine du polynôme A et z+1 est alors une racine 2n-ièmes de l'unité.

Autre chose : Comme z est une racine de B et B(0)=2n0, alors z est non nul.

Kaiser

Posté par yonyon (invité)re : polynômes 21-12-05 à 22:20

Merci beaucoup pour votre aide, ça y'est j'ai compris! pour la question 2, j'ai réussi et j'ai zk=2 sin (k pi/2n)exp(i(pi/2+kpi/2n))
j'ai réussi la question 3
mais je suis bloquée à la question 4:
Je calcule le produit une première fois en fonction de Qn: j'ai
C=2^(2n-1) Qn exp (i(pi/2+kpi/2n)(2n-1))
ensuite j'ai pensé que A=b0 (terme constant du poly B) puisque B=(X-z1)...(X-z2n-1) mais en fait il y a un signe moins devant puisqu'il y a un nombre impair de termes.
donc j'aurais, C=-2n
d'où -2n=2^(2n-1) Qn exp (i(pi/2+kpi/2n)(2n-1))
mais je n'arrive pas à simplifier le produit de l'exponentielle par les puissances de 2 pour obtenir une expression simple de Qn puis de Pn.
Merci d'avance


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