Bonjour, il y a z=0 aussi comme racine, tu l'as comptée ?

salut

que vaut A(0) ?

Bah en fait je trouve que z ne peut être égal à i puis ensuite comme je divise par j'enlève le cas ou k=0 donc ça me fait 2m-2 racines non ? (le 0 est compté dans ma formule pour z quand k = m)

Ah je pense avoir compris, le fait que A(0)=0 permet de factoriser par X dans un premier temps non ? puis avoir un polynôme de degré 2m-2 en facteur du coup ?

Bonsoir,
je trouve 2m-1 racines avec ta méthode. Le seul élément de   à écarter étant 1.

verdurin, j'écarte le cas z=i quand je divise par z-i. Il ne faut pas l'écarter du coup ?

Il me semble que les équations



ont bien chacune une solution unique.

La seule équation de la forme



qui n'a pas de solution est celle qui correspond à k=0.

Merci j'ai compris mon erreur de raisonnement du coup il est bien scindé à racines simples et je peux factoriser.
Bonne soirée !

service

Bonsoir,

Je reviens pour le calcul de .
Déjà j'ai vu que les pour k dans {1,2,....,2m-1} sont les racines de A et j'écris :

Et la mon idée est d'évaluer en i mais je ne vois pas comment faire apparaitre le produit recherché.
A noter que j'ai déjà calculé le produit et que du coup j'ai juste besoin de calculer le produit des cosinus pour obtenir la cotangente.
Merci.

Pardon erreur dans les produits c'est un (-1) dans la toute derniere ligne des calculs.

un exemple avec un polynome admettant trois racines u, v et w non nulles et 0

P(x) = x(x - u)(x - v)(x - w) = x^4 + ax^3 + bx^3 + cx^2 + dx + 0


d'après les relations entre coefficients et racines :

0 est le produit des racines
c est la somme des produits des racines prises 3 par 3
b ....
a est la somme des produits des racines prises 1 par 1 donc u + v + w


donc c = uvw + 0uv + 0vw + 0wu = uvu

donc ton produit est le coefficient de x^2 de ton polynome A ...

il n'est pas bien difficile à calculer ....

Bonsoir,
il me semblerait plus judicieux d'utiliser



ainsi il vient



Ensuite, en utilisant les relations entre coefficients et racines rappelé par carpediem, que je salue, on a



Ce qui permet de conclure.

Mais j'ai vérifié le résultat en calculant le produit demandé par une méthode plus simple : symétrie par rapport à la première bissectrice du cercle trigonométrique.

Merci bien pour toutes vos réponses ! Je trouve donc que le produit vaut 1. Cependant, à quoi sert la deuxième équation quand on somme les produits car j'ai réussi à trouver 1 juste avec la première ? Enfin je passe à la racine donc je me dis qu'il y a peut être une histoire de signe du produit ?

Le produit vaut bien 1.
Il est vrai que la seconde équation que j'ai donnée ne sert à rien.
mais j'ai fait le calcul autrement, et je n'ai pas assez pensé.

Bonjour,
Pourquoi ne pas revenir à la définition de la cotan?
Le produit d'un quotient étant le quotient des produits, il suffit alors de transformer au choix le sin en cos ou le cos en sin... (sin(π/2-x) = cos(x) ...)
Par symétrie des indices, on trouve immédiatement le résultat!
J'espère vous avoir aidé.

Il est évident qu'il faut utiliser les questions précédentes.
La méthode de M Villani est peu adaptée à l'exercice. L'exercice n'est en soit pas très difficile mais il demande une certaine rigueur ■