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Polynômes

Posté par
flynice 19-11-17 à 14:12

Bonjour,
Pourriez-vous me dire ce qui ne va pas dans mon raisonnement :

On note E l'ensemble des polynômes P de ℂ[X] vérifiant :
∀(z,z')∈ℂ², P(zz') = P(z)P(z')

a) Déterminer tous les polynômes constants de E.

On obtient :
\sum_{k=0}^{p}{a_k(zz')^k} = \sum_{k=0}^{p}{a_k^2(zz')^k}
Donc, si P constant, on a : a_0^2 = a_0 et donc a_0 = 1 ou a_0 = 0.

b) Déterminer tous les polynômes de degré 1 de E.

On reprend l'équation ci-dessus avec p = 1.
Donc, on a   (a_0 - a_0^2) + zz'(a_1-a_1^2) = 0.
Donc il faut   a_0 - a_0^2  et a_1-a_1^2 = 0
Ce qui donne a_1 = 0 ou a_1 = 1, et a_0 = 1 ou a_0 = 0.
Donc, on aurait (suivant ma logique) 2 solutions s'ajoutant aux précédentes: P = X, P=X+1.
Or, cette dernière est erronée.

c) Déterminer tous les polynômes de E.

Là, je trouve avec la méthode précédente tous les polynômes avec a_k = 1 ou a_k = 0 ∀k.
Mais, par essais, je conjecture que c'est tous les polynômes avec  a_p=1 et  a_k = 0, pour p = deg P et pour tous k[[0,p-1]].

Merci d'avance

Posté par
Flewerre : Polynômes 19-11-17 à 14:24

Salut,

Il faut revoir la multiplication de 2 polynômes.

Commence par un degré 1 pour voir.

Posté par
carpediemre : Polynômes 19-11-17 à 14:25

salut

a/ pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ...

un polynome constant s'écrit tout simplement P(x) = c ...

b/ idem écrire simplement P(x) = ax + b


pourquoi s'emm... avec des indices inutiles ...

éventuellement pour le cas général c/ tu passeras à une formule "avec indice"" ...

Posté par
Razesre : Polynômes 19-11-17 à 14:29

Bonjour,

flynice @ 19-11-2017 à 14:12

a) Déterminer tous les polynômes constants de E.

On obtient :
\sum_{k=0}^{p}{a_k(zz')^k} = \sum_{k=0}^{p}{a_k^2(zz')^k} FAUX et INUTILE
Donc, si P constant, on a : a_0^2 = a_0 et donc a_0 = 1 ou a_0 = 0.OK


b)  P(zz') = P(z)P(z') ne veut pas dire ça \sum_{k=0}^{p}{a_k(zz')^k} = \sum_{k=0}^{p}{a_k^2(zz')^k}

Posté par
flynicere : Polynômes 19-11-17 à 14:44

Avec les notations de carpediem :

a) Déterminer tous les polynômes constants de E.

On a c = c^2. Donc c= 0 ou c=1.

b) Déterminer tous les polynômes de degré 1 de E.

On a : azz' + b = (az + b)(az' + b)
Donc : azz' + b = a^2zz' + baz' + baz + b^2
Donc, par identification, il faut \left\lbrace\begin{matrix} \\ b^2 = b\\ baz = baz' = 0 \\ \\ a^2 = a \\ \end{matrix}\right..
Cela exclut donc a = b = 1.
Effectivement c'est plus simple.

Je regarde le c) de suite

Posté par
flynicere : Polynômes 19-11-17 à 14:55

Pour le produit P(z)P(z') : je détaille mon calcul :
\sum_{k=0}^{p}{a_kz^k}\sum_{k=0}^{p}{a_kz'^k} = \sum_{k=0}^{p}{\sum_{k=0}^{p}{a_k^2(zz')^k}}.
J'avoue que je ne sais pas trop ce que "\sum_{k=0}^{p}{\sum_{k=0}^{p}{}}" veut dire.
Peut-être que c'est complètement faux. Je vous laisse le soin de me le dire

Posté par
carpediemre : Polynômes 19-11-17 à 15:58

alors change de lettre l'indice : appelle les k et j ...

je ne comprends pas quelle est ta conclusion à 14h44 pour b/ ...

Posté par
flynicere : Polynômes 19-11-17 à 16:04

Pour b) :
Seul X + 0, 0 et 1 remplissent les trois conditions, au contraire de X+1

Posté par
flynicere : Polynômes 19-11-17 à 16:31

J'imagine qu'on a ça :
\sum_{k=0}^{2p}{(\sum_{i=0}^{k}{a_ib_{k-i}})X^k}
Mais comment du coup faire le c) ?

Posté par
carpediemre : Polynômes 19-11-17 à 16:50

soient P, Q et R trois polynome vérifiant la relation

P = Q + R

P(xy) = P(x)P(y) <=> Q(xy) + R(xy) = [Q(x) + R(x)] [Q(y) + R(y)] = Q(x)Q(y) + Q(x)R(y) + Q(y)R(x) + Q(x)R(y)

donc Q(x)R(y) + Q(y)R(x) = 0 pour tout x et y ...

en particulier pour x = y alors Q(x)R(x) = 0 donc QR est le polynome nul

il est alors aisé de montrer que l'un des polynomes Q ou R est nul ..

donc P(x) = kx^n ...

Posté par
flynicere : Polynômes 19-11-17 à 17:01

Je ne comprends pas comment tu arrives à la conclusion : P(x) = kx^n

Posté par
flynicere : Polynômes 19-11-17 à 17:02

Mieux dit : comment tu expliques :  P ou Q nul P(x) = kx^n

Posté par
flynicere : Polynômes 19-11-17 à 17:09

Désolé : Q ou R nul P(x) = kx^n  (#chuisfatigué)

Posté par
carpediemre : Polynômes 19-11-17 à 17:18

un polynome est une somme de monomes

une somme de polynomes est une somme de monomes

Posté par
carpediemre : Polynômes 19-11-17 à 17:19

un polynome nul sur un intervalle (ouvert non vide) est nul ....

Posté par
flynicere : Polynômes 19-11-17 à 17:22

Donc tu supposes Q ou R monôme ?
Mais P n'est pas forcément somme de deux monômes. On peut avoir P = A + B + C + D + ...

Posté par
flynicere : Polynômes 19-11-17 à 17:23

Au temps pour moi, j'ai compris

Posté par
flynicere : Polynômes 19-11-17 à 17:40

Merci carpediem

Posté par
carpediemre : Polynômes 19-11-17 à 17:48

de rien

Posté par
alainpaulre : Polynômes 20-11-17 à 10:36

Bonjour,

Je pensais à toute autre chose:
Hypothèse: P(z) n'est pas nul,z'=1,P(z)=P(1\times z)=P(1)\times P(z);P(1)=1

Nous pouvons recommencer:P(1)\times P(1\times z)=>P(1)^2=1

D'une manière générale n entier >0   , P(1)^n=1.

Alain

Posté par
lafol Moderateurre : Polynômes 20-11-17 à 13:48

Bonjour
une fois qu'on a P(1) = 1, savoir que les puissances de 1 valent 1 n'apporte pas grand chose de neuf ....

Posté par
alainpaulre : Polynômes 20-11-17 à 14:13

Bonjour,

OK.Mon correctif n'est donc pas passé!

P(1)=1  veut aussi dire la somme des coefficients vaut toujours  1 .

La relation donnée signifie aussi -    z'=   constante   -  que P(z)
est une fonction homogène :P(\lambda z)=P(\lambda)\times P(z)

Alain

Posté par
alainpaulre : Polynômes 20-11-17 à 17:57

Bonsoir,

Nous pouvons essayer de montrer que le polynôme P(z)  est toujours d'une parité déterminée:
P(1)=1 ,  P(1)=P(-1(-1));  donc d'après notre équation  initialeP(-1)^2=P(1)=1
donc   |P(-z)|=|P(-1)||P(z)|


Alain


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