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Polynômes
Bonjour,
Pourriez-vous m'aider sur l'exercice suivant :
On considère la suite de polynôme définie par ,
et
pour tout
0.
a) Déterminer le degré et le coefficient dominant de pour tout
0.
Là, je conjecture deg =
et coeff_domin
=
et je le montre par récurrence. L'initialisation est immédiate. Mais pendant l'hérédité, puis-je dire :
"
Donc, le coeff dominant est de est
et son degré est
" ?
2) Etudier la parité des polynômes .
Là, cela me paraît immédiat : si n est pair, alors est pair et inversement.
Merci d'avance
Bonjour
1) Ta récurrence est presque correcte. En fait a aussi un terme de degré
qui peut donner un terme de degré
dans ta formule. Mais tu t'en fiches, puisque tu ne regardes que le terme dominant.
2) La parité des est "presque" évidente, mais il y a quand même une récurrence là-dessous. As-tu regardé comment se comportent les
?
1) Donc, il faudrait mentionner ce terme de degré dans ma formule, même s'il n'influe pas sur le résultat ?
2) Oui, est impair.
Est-ce que l'hérédité serait :
, et donc
est impaire.
Comme deg > deg
,
est impaire
Bonsoir
avant de parler d'hérédité,il faudrait peut-être identifier une hypothèse de récurrence, non ?
si n = 2k, alors P_n est paire, et si n=k+1, alors P_n est impaire. Je suppose que c'est l'hypothèse de récurrence.
(je pensais que vous parliez du a) )
Pour mon hypothèse de récurrence, en effet, après petit passage par Geogebra, cela ne fonctionne pas. Je croyais à tort que le coefficient dominant donnait la parité.
J'ai trouvé sur Internet une propriété que je n'avais bizzarement pas vue en cours : "P est pair si, et seulement si, tous ses coefficients d'indice impair sont nuls" et inversement pour impair.
Je suppose que c'est celle-ci qui convient ?
ou tout simplement la définition .... P est pair ssi , et P est impair ssi
mais oui, ça revient à la condition sur la parité des exposants des monômes constituant P
salut
on suppose que P_n a même parité que son rang ...
a/ on suppose P_n pair ... donc ...
b/ on suppose P_n impair ... donc ...
Si P_{n+2} est pair, par hypothèse de récurrence P_{n+1} est impair et donc 2xP_{n+1}(x) = -2xP{n+1}(-x) et P_n(x) est pair et P_n(x) = P_n(-x).
Et de même pour les impairs.
Si P_{n+2} est pair, par hypothèse de récurrence P_{n+1} est impair et donc 2xP_{n+1}(x) = -2xP{n+1}(-x) et P_n(x) est pair et P_n(x) = P_n(-x).
Et de même pour les impairs.
as-tu lu ce que j'ai écrit ?
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