bonjour! j ai besoin d aide
déterminer un polynôme P à coefficients entiers tel que P(a) = 0
1) quand a = 2 + 5
2) quand a = 2 + 3 - 5
Bonjour,
Non, déterminer le degré minimal du polynôme fait partie de l'exercice.
1) On peut calculer et trouver une équation du second degré à coefficients entiers dont est solution en sorte que soit solution d'une équation bicarrée à coefficients entiers.
pour le fun et pour revenir à mon idée :
et posons
a est racine du polynome
donc a est racine du polynome
et en prenant on trouverait ...
Bonjour,
Une proposition pour 2) :
( x4- 20 x2- 24 )2 - 6430 x2
Peut-on trouver un degré plus petit ?
verdict du juge de paix:
normal(poly2symb(pmin(sqrt(2)+sqrt(3)-sqrt(5)))) renvoie x^8-40*x^6+352*x^4-960*x^2+576
donc impossible de descendre le degre
@alb12,
Oui, c'est le même
J'ai utilisé la méthode de lake.
@carpediem,
Merci (chacun son tour ).
J'ai dans mes projets d'essayer un jour de me replonger dans Galois.
Je me trompe ou il n'y a qu'une réponse, à un coefficient multiplicateur entier près, en degré 8 ?
je le pense fortement ... c'est un peu comme le polynome minimal d'une matrice ...
d'ailleurs il serait bien d'avoir la factorisation formelle de ces polynomes pour voir leur racines ...
et je suis persuadé que alb12 va nous présenter cela en un tour de main avec Xcas (et merci par avance)
et je pense qu'on va trouvé les conjugués possibles de a
au depart j'ai ecrit le polynome ayant pour racines +/-sqrt(2)+/-sqrt(3)+/-sqrt(5)
puis j'ai verifie avec la commande pmin de Xcas:
pmin a comme argument a un nombre algébrique réel (resp complexe).
pmin renvoie le polynôme de plus petit degré ayant comme coefficients des entiers qui admet a comme racine.
mes souvenirs de Galois sont trop vagues pour fournir un argument convainquant
En voyant "le polynôme ayant pour racines +/-sqrt(2)+/-sqrt(3)+/-sqrt(5)", il me devient évident que le nombre minimum de zéros distincts pour le polynôme cherché est 222 .
D'où le degré minimum sans utiliser Galois ?
Et on doit aussi pouvoir retrouver, avec la méthode de carpediem, le polynôme
x8 - 40 x6+ 352 x4- 960 x2+ 576
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