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Niveau seconde
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polynômes

Posté par
Mbacke313
03-06-18 à 10:18

bonjour!  j ai besoin d aide

déterminer un polynôme P à coefficients entiers tel que P(a) = 0
1) quand a = 2 + 5
2) quand a = 2 + 3 - 5

Posté par
hekla
re : polynômes 03-06-18 à 10:24

Bonjour

texte incomplet
quel est le degré du polynôme ?

Posté par
lake
re : polynômes 03-06-18 à 10:51

Bonjour,

  Non, déterminer le degré minimal du polynôme fait partie de l'exercice.

1) On peut calculer a^2 et trouver une équation du second degré à coefficients entiers dont a^2 est solution en sorte que a soit solution d'une équation bicarrée à coefficients entiers.

Posté par
carpediem
re : polynômes 03-06-18 à 11:35

salut

considérer le "conjugué" de a et se rappeler les identités remarquables de collège ...

Posté par
Mbacke313
re : polynômes 03-06-18 à 15:34

bonjour
a^2 = 7+210
mais j arrive pas à  trouver l équation du 2nd degré dont a^2 est une solution

Posté par
alb12
re : polynômes 03-06-18 à 15:40

salut,
tu ne sais isoler la racine ?

Posté par
Mbacke313
re : polynômes 03-06-18 à 15:59

isoler la racine?

Posté par
lake
re : polynômes 03-06-18 à 16:22

Oui, tu exprimes 2\sqrt{10} en fonction de a^2

Puis tu élèves les deux membres au carré.

Posté par
Mbacke313
re : polynômes 03-06-18 à 20:29

(a^2 -7)^2 = 40
a^2 - 14a + 49 = 40
a^2 -14a + 49 = 0
on fait quoi maintenant?

Posté par
Mbacke313
re : polynômes 03-06-18 à 20:30

ou bien c est le polynôme cherché?

Posté par
lake
re : polynômes 03-06-18 à 20:45

Oui, le polynôme cherché (il y en a d'autres) avec une erreur de calcul:

P(x)=x^4-14x+9

Posté par
lake
re : polynômes 03-06-18 à 20:47

Zut!

P(x)=x^4-14x^2+9

Posté par
carpediem
re : polynômes 03-06-18 à 21:07

pour le fun et pour revenir à mon idée :

a = \sqrt 2 + \sqrt 5 et posons a^* = \sqrt 2 - \sqrt 5

a est racine du polynome P(x) = (x - a)(x - a^*) = (x - \sqrt 2)^2 - 5 = x^2 - 3 - 2\sqrt 2 x

donc a est racine du polynome Q(x) = P(x)(x^2 - 3 + 2 \sqrt 2 x) = (x^2 - 3)^2 - 8x^2 = x^4 - 14x^2 + 9



et en prenant a^* = \sqrt 5 - \sqrt 2 on trouverait  ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynômes 04-06-18 à 09:31

Bonjour,
Une proposition pour 2) :
( x4- 20 x2- 24 )2 - 6430 x2

Peut-on trouver un degré plus petit ?

Posté par
alb12
re : polynômes 04-06-18 à 10:14

serait-ce le meme que celui ci:
x^8-40*x^6+352*x^4-960*x^2+576

Posté par
alb12
re : polynômes 04-06-18 à 10:21

verdict du juge de paix:
normal(poly2symb(pmin(sqrt(2)+sqrt(3)-sqrt(5)))) renvoie x^8-40*x^6+352*x^4-960*x^2+576
donc impossible de descendre le degre

Posté par
carpediem
re : polynômes 04-06-18 à 10:57

\sqrt 2, \sqrt 3 et \sqrt 5 étant \Q-indépendants deux à deux  la théorie de Galois nous le prédisait ... il me semble ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynômes 04-06-18 à 11:28

@alb12,
Oui, c'est le même
J'ai utilisé la méthode de lake.

@carpediem,
Merci (chacun son tour ).
J'ai dans mes projets d'essayer un jour de me replonger dans Galois.

Je me trompe ou il n'y a qu'une réponse, à un coefficient multiplicateur entier près, en degré 8 ?

Posté par
carpediem
re : polynômes 04-06-18 à 11:58

je le pense fortement ... c'est un peu comme le polynome minimal d'une matrice ...

d'ailleurs il serait bien d'avoir la factorisation formelle de ces polynomes pour voir leur racines ...

et je suis persuadé que alb12 va nous présenter cela en un tour de main avec Xcas (et merci par avance)

et je pense qu'on va trouvé les conjugués possibles de a

Posté par
alb12
re : polynômes 04-06-18 à 12:52

au depart j'ai ecrit le polynome ayant pour racines +/-sqrt(2)+/-sqrt(3)+/-sqrt(5)

puis j'ai verifie avec la commande pmin de Xcas:
pmin a comme argument a un nombre algébrique réel (resp complexe).
pmin renvoie le polynôme de plus petit degré ayant comme coefficients des entiers qui admet a comme racine.

mes souvenirs de Galois sont trop vagues pour fournir un argument convainquant

Posté par
carpediem
re : polynômes 04-06-18 à 13:03

oui c'est exactement à cela que je pensais ...

merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynômes 04-06-18 à 14:06

En voyant "le polynôme ayant pour racines +/-sqrt(2)+/-sqrt(3)+/-sqrt(5)", il me devient évident que le nombre minimum de zéros distincts pour le polynôme cherché est 222 .
D'où le degré minimum sans utiliser Galois ?

Et on doit aussi pouvoir retrouver, avec la méthode de carpediem, le polynôme
x8 - 40 x6+ 352 x4- 960 x2+ 576

Posté par
lake
re : polynômes 04-06-18 à 15:00

Bonjour à tous,

J'avais obtenu le même:

Citation :
le polynôme
x8 - 40 x6+ 352 x4- 960 x2+ 576
  

en passant par des produits de  "polynômes conjugués"; successivement:

 x^2-2(\sqrt{2}+\sqrt{3})x+2\sqrt{6}

(x^2+2\sqrt{6})^2-4(5+2\sqrt{6})x^2=x^4-20x^2+24-4\sqrt{6}x^2

(x^4-20x^2+24)^2-96x^4=x^8-40x^6+352x^4-960x^2+576



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