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Polynômes

Posté par Profil NeedHelpPlz 24-11-20 à 18:14

Bonsoir,
j'ai un soucis dans mon exercice.
énoncé: Factoriser P(X)=X4-X²+1 sur .

J'ai posé Y=X², donc:
Y²-Y+1=0
=-3  donc deux solutions complexes
y1=(1/2)(3/2)=ei/3

j'ai donc trouvé Y²-Y+1=(Y-ei/3)(Y-e-i/3)

je ne vois pas comment faire ensuite en reprenant X.

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
verdurinre : Polynômes 24-11-20 à 18:21

Bonsoir,
ei/3=(ei/6)2

Posté par
phyelec78re : Polynômes 24-11-20 à 18:21

Bonjour,

vous avez Y=X2, appliquez l'identité remarquable a2-b2=(a-b)(a+b)

Posté par Profil NeedHelpPlzre : Polynômes 24-11-20 à 19:03

Merci pour vos réponse.

Donc:
X4-X²+1=(X-e-i/6)(X+e-i/6)(X-ei/6)(X+ei/6)?

C'est le résultat qu'il faut trouver?

Posté par
verdurinre : Polynômes 24-11-20 à 19:13

Si il est juste, ce qui est facile à vérifier, tu as bien une factorisation sur C.

Posté par Profil NeedHelpPlzre : Polynômes 24-11-20 à 19:17

Dans la correction du prof, il y a en solution ei/6, mais il y a également ei7/6 et je ne comprends pas comment il trouve ça.

Posté par Profil NeedHelpPlzre : Polynômes 24-11-20 à 19:25

Je viens de comprendre c'est bon, merci pour vos réponses.

Posté par
verdurinre : Polynômes 24-11-20 à 20:17

Service

Posté par
malou Webmasterre : Polynômes 24-11-20 à 20:57

Bonjour à vous deux,

NeedHelpPlz : le multi-compte est strictement interdit sur le forum :

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q29 - Avoir plusieurs comptes est-il autorisé ?



Merci donc de régulariser ta situation en supprimant ton compte Trikzz (la fonction mot de passe oublié existe).

Une fois que c'est fait, contacte gbm ( [lien]) ou moi ( [lien]) et on lèvera ton exclusion sur ton compte actuel.

Posté par
lafol Moderateurre : Polynômes 24-11-20 à 21:58

Bonjour
autre méthode pour ceux qui passeront par là plus tard :
X^4-X^2+1 = X^4+2X^2+1-3X^2 = (X^2 +1)^2-(\sqrt 3 X)^2 \\ =(X^2-\sqrt 3 X +1)(X^2+\sqrt 3X +1)

et ensuite discriminant etc pour chaque trinôme (ou écrire 1 =\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)^2 -\left(i\dfrac 12\right)^2 , et continuer les identités remarquables, au choix)

Posté par
Razesre : Polynômes 24-11-20 à 22:37

Bonsoir,

Une autre façon de faire:

X^{4}-X^{2}+1 =0\Leftrightarrow (-X^{2})^{2}+(-X^{2})+1 =0, nous avons: j^{2}+j+1=0; avec: j^{3}=1

Les solutions en (-X^{2})  sont telles que j=e^{i\frac{2\pi}{3}} et j^{2}:

D'où:
- Pour: X^{2}=-j=i^{2}j^{4}=(ij^{2})^{2}\Rightarrow X_1=ij^{2};X_2=-ij^{2}

- Pour: X^{2}=-j^{2}=i^{2}j^{2}=(ij)^{2}\Rightarrow X_3=ij;X_4=-ij

Donc: X^{4}-X^{2}+1 =(X-ij^{2})(X+ij^{2})(X-ij)(X+ij)

Posté par
carpediemre : Polynômes 25-11-20 à 18:04

salut

j'ai failli proposé ce qu'a écrit lafol : on et on peut le faire avec un + comme avec un - tout aussi simplement :

x^4 - x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2 + x^2 = (x^2 - 1)^2- (ix)^2 = (x^2 - ix - 1)(x^2 + ix - 1)

le discriminant est à nouveau élémentaire ...(réel strictement négatif) ...

sinon la forme canonique donn immédiatement par exemple pour le premier (x - i/2)^2 - 3/4 = ...

ceux qui passent par là seront vernis !!!

Posté par
carpediemre : Polynômes 25-11-20 à 18:10

sinon à partir de l'idée de Razes :

x^4 - x^2 +1 = 0 \\ j^2 + j + 1 = 0

donc par soustraction : x^4 - j^2 - x^2 - j = (x^2 - j)(x^2 + j) - (x^2 + j) = (x^2 - i^2j)(x^2 - j - 1) = [x^2 - (i/j)^2](x^2 - j^2) = ...


et hop encore une alternative de résolution à la méthode de Razes

Posté par
carpediemre : Polynômes 25-11-20 à 18:11

et on sait que l'inverse d'un nombre de module 1 est son conjugué ...


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