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Polynômes

Posté par
Afd05
17-11-22 à 14:04

Bonjour, comment vous allez?
J'aimerais que vous m'aidez pour cette exercice je ne sais pas comment procéder pour faire la démonstration.
Soit a et b deux nombres réels distints. On définit le polynome P par :
P(x)=a^2(b-x)+b^2(x-2)+x^2(a-b)
1)Démontrer qu'il existe un polynome P tel que pour tout réel x:
P(x)=(x-a)(x-b)P(x)
2)Quel est le degré de P?DéterminerP.En déduire une factorisation de P(x)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Polynômes 17-11-22 à 14:16

bonjour,

se relire !
P(x)=a^2(b-x)+b^2(x-2)+x^2(a-b) ?
P(x)=(x-a)(x-b)P(x) ah bon ???

dire (explicitement) ce qu'on a essayé, commencé ...

indice : quel rapport y a-t-il entre la factorisation d'un polynome et ses racines ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Polynômes 17-11-22 à 14:21

Bonjour,

Citation :
il existe un polynome P

c'est plutôt "il existe un polynôme Q" tel que
P(x)=(x-a)(x-b)Q(x) ?

vérifie ton énoncé parce que même comme ça, ça ne marche pas, on a pas P(a) et P(b) = 0

Posté par
Afd05
re : Polynômes 17-11-22 à 21:55

Bonsoir donc j'ai fait l'erreur en recopiant alors k doit je faire maintenant je suis nouvelle dans ce site c'est pourquoi

Posté par
miguelxg
re : Polynômes 17-11-22 à 22:34

salut

justement il faudrait que tu vérifies l'énoncé et que tu le recopies sans erreur, parce qu'avec ça comme on te l'a mentionné au-dessus, on ne pourra pas répondre à la question

Posté par
mathafou Moderateur
re : Polynômes 17-11-22 à 22:56

recopier correctement ici même en réponse

(et langage SMS interdit "k doit ...")

Posté par
Afd05
Polynômes 19-11-22 à 17:03

Bonjour, je ne comprends pas cette exercice et je voudrais k vous m'aidiez.
Soit a et b deux nombres réels distints. On définit le polynome P par :
P(x)=a²(b-x)+b²(x-a)+x²(a-b)
Démontrer qu'il existe un polynome Q tel que pour tout réel x:
P(x)=(x-a)(x-b)Q(x)
Quel est le degré de Q ? Déterminer Q.En déduire une factorisation de P(x)

*modération* > Afd05,  le  langage sms est interdit sur notre site*

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 19-11-22 à 17:06

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q30 - J'ai été averti ou banni, pourquoi, et que faire ?

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 19-11-22 à 17:17

qu'est ce qu'il suffirait de montrer pour pouvoir mettre (x-a) d'une part et (x-b) d'autre part en facteur ?

Posté par
carpediem
re : Polynômes 19-11-22 à 17:19

salut

tu as tout de même un cours qui te permet de réfléchir ... et pas que d'y copier-coller des formules à appliquer bêtement ...

supposons qu'un polynome P s'écrive P(x) = (x - a)Q(x)
que peux-tu dire de a pour ce polynome ?
la réciproque est-elle vraie ? (voir cours)

Posté par
Afd05
re : Polynômes 19-11-22 à 17:55

a et b sont des racines de ce polynômes

Posté par
Afd05
re : Polynômes 19-11-22 à 17:57

Donc il faudra montrer que a et b sont des racines de ce polynômes

Posté par
carpediem
re : Polynômes 19-11-22 à 17:58

oui et comment fait-on donc

Posté par
Afd05
re : Polynômes 19-11-22 à 18:20

On calcule on pose P(a)=0 puis P(b)=0

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 19-11-22 à 18:29

si tu le poses, y a plus rien à faire !

je dirais plutôt de voir si ces propositions sont vraies ou pas

Posté par
Afd05
re : Polynômes 19-11-22 à 18:32

Donc je vérifie si  P(a)=0 ainsi que P(b)

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 19-11-22 à 18:35

absolument

Posté par
Afd05
re : Polynômes 19-11-22 à 18:44

Je l'ai déjà fais et j'en ai conclu k le degré de Q est de 1 donc P(x)=(x-a)(x-b)(ax+b)
Est ce exact

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 19-11-22 à 18:45

3e fois ...

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q26 - Pourquoi dois-je écrire mon message dans un français correct ? Pourquoi le langage SMS est-il interdit sur l'Île ?

Posté par
Afd05
re : Polynômes 19-11-22 à 18:48

Désolé pour tout à l'heure j'ai pas fais exprès je vous présente toutes mes excuses

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 19-11-22 à 18:54

Afd05 @ 19-11-2022 à 18:44

Je l'ai déjà fais et j'en ai conclu que le degré de Q est de 1 donc P(x)=(x-a)(x-b)(ax+b)
Est ce exact


par quel raisonnement ? explique

Posté par
Afd05
re : Polynômes 19-11-22 à 19:01

On a:
P(a)=a²(b-a)+b²(a-a)+a²(a-b)
        =a²b-a³+a³-a²b
        =0
P(b)=a²(b-b)+b²(b-a)+b²(a-b)
         =b³-ab²+ab²-b³
         =0
Donc P(x)=(x-a)(x-b)Q(x) avec d°Q=d°P-2

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 19-11-22 à 19:07

et que vaut le degré de P ?

Posté par
Afd05
re : Polynômes 19-11-22 à 19:11

Le degré de P vaut 3

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 19-11-22 à 19:13

pourquoi ?
P(x)=a²(b-x)+b²(x-a)+x²(a-b)

Posté par
Afd05
re : Polynômes 19-11-22 à 19:20

Ha ok donc le degré de P vaut 2

Posté par
Afd05
re : Polynômes 19-11-22 à 19:21

Si c'est le cas Q(x)est nul

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 19-11-22 à 19:38

pas Q(x), mais son degré qui vaut 0
donc comment s'écrit Q(x) ?

Posté par
Afd05
re : Polynômes 19-11-22 à 19:47

Donc Q(x)=a+b

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 19-11-22 à 20:01

euh non, a et b sont déjà des lettre utilisées, tu ne peux pas les réemployer comme ça, ou alors tu dois démontrer que cela vaut vraiment ce que tu affirmes

Posté par
Afd05
re : Polynômes 19-11-22 à 20:23

Je le demontre en trouvant la valeur de a et b?

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 19-11-22 à 20:26

Non
Ton Q(x) c'est une constante
OK
Appelle la c dans un premier temps puis tu cherches à exprimer c en fonction de a et b

Posté par
Afd05
re : Polynômes 19-11-22 à 20:34

Dans ce cas c =a+b

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 19-11-22 à 20:44

Je ne pense pas
Si tu développes
( A+b)(x-a)(x-b) tu ne vas pas trouver P(x)
....

Posté par
Afd05
re : Polynômes 19-11-22 à 20:52

Alors là vraiment je ne sais pas par où passer pour trouver les deux réels a et b

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 19-11-22 à 21:03

Regarde bien ton polynôme d'origine et le coefficient de x^2...
Il n'y a qu'une valeur possible
Ensuite tu le vérifieras bien que comme on a démontré qu'on était sûrs qu'on pouvait mettre (x-a) et (x-b) en facteur...

Posté par
Afd05
re : Polynômes 19-11-22 à 21:20

Donc je passe  par la méthode d'identification

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 19-11-22 à 21:22

Oui mais seulement pour x^2

Posté par
Afd05
re : Polynômes 19-11-22 à 21:54

On aura :
P(x)=(x-a)(x-b)(a+b)
         =(x²-bx-ax+ab)(a+b)
         =ax²-abx-a²x+a²b+bx²-b²x-abx+ab²
         =(a+b)x²-2abx+(-a²-b²)x+a²b+ab²
         =(a+b)x²+(-a²-2ab-b²)x+a²b+ab²
Par identification on a:
a+b=1 ➡️a=1-b
(-a²-2ab-b²)=0➡️[(-1+b)²-2(1-b)(b)-b²=0
                                 ➡️1²+2b+b²-2+2b-2b-b²=0
                                 ➡️1+2b-2=0➡️2b-1=0➡️b=1/2
a=1-1/2➡️a=1/2

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 20-11-22 à 09:43

on ne cherche pas du tout a et b, ton polynôme P qui est un polynôme en x (la variable) dépend de deux paramètres a et b quelconques, et cela doit être toujours vrai, et pas seulement pour des valeurs particulières des paramètres

regarde bien l'écriture de P(x)
P(x)=a²(b-x)+b²(x-a)+x²(a-b)
moi, le seul coefficient possible pour x² je le vois !
et quand on écrit P(x)=c(x-a)(x-b)
je le vois aussi ce coefficient de x²

j'en déduis que la seule valeur possible de c est ...

Posté par
Afd05
re : Polynômes 20-11-22 à 14:27

Bonjour,
Ha ok là je comprends mieux donc là valeur de c sera 1

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 20-11-22 à 14:29

Non
Que vaut le coefficient de x^2 ?

Posté par
Afd05
re : Polynômes 20-11-22 à 15:03

Le coefficient de x² vaut (a-b)

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 20-11-22 à 16:30

eh oui
donc
P(x)=(a-b)(x-a)(x-b)

Posté par
Afd05
re : Polynômes 20-11-22 à 16:44

J'ai bien compris😇
Vraiment merci d'avoir pris de votre temps pour m'aider je vous en suis très reconnaissante.

Posté par
malou Webmaster
re : Polynômes 20-11-22 à 16:52

Super !
A une autre fois sur l'



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