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Polynomes à determiner.

Posté par jmix90 (invité) 24-07-05 à 23:41

Bonjour,

C'est encore moi avec mes exos impossibles pour moi

Je bloque sur un problème, il faut que je déterminer tout les poynômes P tels que (X+3)P(x)=XP(X+1)

Moi j'ai pensé aux racines du polynômes et je me suis dit que "Deux poly sont égaux si leurs racines sont égales" ce qui me fait poser ca:

X(X+3)A(X)=X(X+3)A(X+1)

et donc me donne A(X)=A(X+1) et donc j'en déduis que A(x)= \lambda, \lambda \subset\mathbb{R}

Mais Je pense qu'il y a une erreur dans le raisonement, qu'en pensez vous ?

Merci d'avance !

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
reolynomes à determiner. 25-07-05 à 01:39

Bonjour jmix90;
(tu as oublié de mentionner dans quel anneau de polynomes se trouve P je présume que c'est \mathbb{R}[X])
on peut également utiliser le théorème de Gauss:
X/(X+3)P(X) et X premier avec (X+3) donc X/P(X)de mm on a (X+3)/P(X+1) ie (X+2)/P(X)
donc 0 et -2 sont racines de P et on peut remarquer que si:
x est une racine de P autre que 0 alors il en est de mm pour x+1
on a ainsi que -2,-1 et 0 sont racines de P écrivons alors:
P(X)=X(X+1)(X+2)Q(X) d'où P(X+1)=(X+1)(X+2)(X+3)Q(X+1) et donc que:
Q(X)=Q(X+1) donc Q constant finalement les solutions de ton problème sont les polynomes: P(X)=\alpha X(X+1)(X+2) (\alpha\in\mathbb{R})
Voilà et éspérons que c'est bien ça

Posté par jmix90 (invité)oui 25-07-05 à 09:27

Oui c'est bien dans cet anneau que je travaille..

Pourquoi si X est une racine de P(autre que 0) alors X+1 aussi ?

Merci encore !

Posté par
la_brintouille
re : Polynomes à determiner. 25-07-05 à 09:37

Bonjour,
... parce que si x est une racine <> 0 de P,
x est aussi une racine de (X+3)P(X), donc aussi une racine de XP(X+1).
Et comme x est non nul, c'est une racine de P(X+1), et donc x+1 est racine de P !

Posté par jmix90 (invité)ok 25-07-05 à 21:56

Ok donc !

Merci beaucoup !



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