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polynomes dans les complexes

Posté par
LaJoloche
19-10-21 à 22:29

Bonsoir, je viens demander de l'aide car je bloque sur un exercice de maths expertes sur les polynômes et les nombres complexes. Voici l'énoncé:

Citation :
1) Calculer (2+4i)2

2) En déduire une factorisation du polynome
P(z)= (z+1-2i)2 +12-16i

3) Un polynôme de degré 2 pouvant s'écrire sous la forme az2+bz+c, où a, b et c sont des nombres complexes, quels sont les coefficients du polynome P de la question 2?

4) Vérifier que la somme des racines du polynome P de la question 2 vaut -b/a et que leur produit vaut c/a.


La première question ne me bloque pas, je trouve -12+16i
Par contre, je bloque complètement sur la 2e, alors que les deux suivantes me paraissent relativement simple (on procède par identification des coefficients, et la dernière c'est juste des vérifications).
Je pense que je dois trouver P(z)=0 mais je ne sais vraiment pas par où commencer, vous n'auriez pas quelques pistes pour m'aider? Merci beaucoup!

Posté par
larrech
re : polynomes dans les complexes 19-10-21 à 22:32

Bonsoir,

Pour la 2/, utilise la 1/ pour faire apparaître une différence de 2 carrés.

Posté par
MatheuxMalin
re : polynomes dans les complexes 19-10-21 à 22:33

Bonjour, votre exercice est très bien posé car il révèle toute la beauté des nombres complexes.
Dans les réels, quand on a A² + B², on ne sait pas factoriser.
On ne sait que factoriser quand on a A² - B²
Dans les complexes, on a i² = -1
On a donc  A² + B² = A² - (i*B)² = (A+i*B)*(A-i*B)

Posté par
MatheuxMalin
re : polynomes dans les complexes 19-10-21 à 22:35

Pardon même pas besoin vous avez du A² - B², bon l'astuce était donc gratuite mais inutile ici. Au temps pour moi

Posté par
LaJoloche
re : polynomes dans les complexes 19-10-21 à 22:57

Ah, merci beaucoup! J'avais pensé à en faire une différence de carrés, mais je n'avais pas pensé à utiliser l'identité remarquable.

Je trouve donc P(z)= (z+3+2i)(z-1-6i).
Je développe ensuite cette expression, ce qui donne z2 + (2-4i)z + 9-20i, ce qui nous donne clairement un polynôme du second degré avec a= 1, b= 2-4i et c= 9-20i. Ensuite les vérifications ne me semblent pas très compliquées.

Merci beaucoup pour votre aide!



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