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polynômes de Newton-Girard et xⁿ+yⁿ+zⁿ=0ⁿ

Posté par
fabo34
31-05-22 à 21:19

Bonjour,
  
Je vous fait partager mon travail sur l'écriture du Théorème de Fermat avec les polynômes de Girard. Vu que les 2 hommes étaient contemporains, peut-être que sous cette forme on pourrait avoir un début d'"intuition" du comment du pourquoi Fermat aurait pu voir la lumière.

Bref, même si ça ne semble pas (me) permettre d'aller très loin, je vous le fais partager, car c'est quand même très intrigant!

Allez. On pose:

\left\lbrace\begin{aligned} &s=x+ y + z\\ &r=xy + zy + zx \\& p=xyz \\ &p_n=x^n+y^n+ z^n \end{aligned}\left.

Du coup le théorème de Fermat s'écrit (n premier): p_n=0

Et la coprimalité du triplet (x,y,z) :  r \wedge p=1


La récurrence:

\left\lbrace\begin{aligned} & p_0 =3 \\& p_1 =s\\& p_2=s^2-2r \\ &p_{n3} =s p_{n-1}- r p_{n-2} + p p_{n-3} \end{aligned}\left.


On obtient alors pour commencer:

\left\lbrace\begin{aligned} & p_1=s \\& p_2= s^2-2r \\ &p_3=s^3-3[s r - p ]\\& p_5=s^5-5[s( rs^2-ps-r^2) + {rp} ] \\ &p_7= s^7-7[s(rs^4 -ps^3-2r^2 s^2 +3rps+r^3-p^2 ) - pr^2 ] \\& ...\end{aligned}\left.


Avec, p_n=0, on voit apparaître la forme:

s^n=n[s P_n(s,r,p)+  pR_n(r,p) ] , avec  P_n(s,r,p)  et R_n(r,p)  des polynômes

On a donc n \mid s .

A) Dans le cas n \nmid p soit  n \nmid xyz :
Ces formes permettent de "voir" quelques cas "simples" . En effet, si n \nmid R_n, alors n ne divise pas le crochet [],   et la multiplicité de n dans s est absurde.

Ainsi:
_ Pour n=3,  c'est immédiat
_ Pour n=5, on peut facilement prouver que 5 \nmid r . En effet, on cherche  x^2 +y^2 \equiv -z^2 . Or cela est impossible car a^2\equiv \pm1  .
_ Pour n=7, malheureusement 7 \mid r
_ Pour puissances suivantes, aucun schéma simple ne se dégage: cela dit,  pour R_{11}(r,p)=r(r^3-p^2), et R_{17}(r,p)=r(r^6-5r^3p^2+p^4), l'ordinateur permet effectivement de vérifier que  11 \nmid R_{11} et  17 \nmid R_{17} , aboutissant à la contradiction voulue!
_ Pour R_{13(r,p)}=r^2(r^3-2p^2), et zut, on a 13 \mid r

On est très très très loin du résultat de Sophie Germain. D'une part parce qu'on n'utilise pas la coprimalité. Mais est-ce possible ici de l'utiliser?


B) Dans le cas n \mid xyz :

On a n \mid sp . Donc par coprimalité, on est sûr que    n \nmid r
Ensuite, rien ne va plus !!


Voilà.
Ca n'a pas mené bien loin, mais avouez que la forme s^n=n[s P_n+  pR_n ] est très troublante!

Je manque de connaissance pour y voir (ou y apprendre) plus de choses. Si toutefois certains ont des idées, ce sera avec plaisir!

Posté par
dpi
re : polynômes de Newton-Girard et xⁿ+yⁿ+zⁿ=0& 01-06-22 à 08:19

Bonjour,

Mon avis:
La rubrique " détente" voit surtout des idées pratiques,amusantes ou
originales et ludiques.
Compte-tenu du niveau je conseillerais plutôt de poster en "supérieur ".
Bonne chance

Posté par
fabo34
re : polynômes de Newton-Girard et xⁿ+yⁿ+zⁿ=0& 02-06-22 à 18:09

N'est-ce pas ludique? Au moins pour travailler un peu l'arithmétique



Juste une précision pour le cas B)  n \mid xyz

Si on analyse plus finement la récurrence, des r se retrouvent isolés dans les 2 parenthèses.

la forme est s^n=n [s (r^{ {n-1} \over 2} +P_n(r,s,p))+pr(r^{{n-5} \over 2} +R_n(r,p))

ici avec n \nmid r, n \nmid p, n \nmid s , tout le monde est divisible par n, , également Pn et Rn .
Tout le monde ... sauf les r, puisqu'on est dans le cas  n \nmid r .  !

Ainsi  les 2 parenthèses ne sont pas divisibles par n

On obtient donc une forme  s^n=n [s u+p v ] , n \nmid uv , n \mid s, n \mid p ,
qui amène à penser que nécessairement p et s ont la même multiplicité sur n, sinon on aboutit à des absurdités.

Conclusion: en considérant le triplet (n^q x, y, z), n \nmid xyz, et (n^q x)^n + y^n + z^n = 0

on arrive à x n^q + y + z = s n^q  , n \nmid sxyz

Voilà. Est-ce une contrainte intéressante? Voire contradictoire?Mirabile ?.... Ignoro !  
Un éventuel sentier pour continuer la promenade? Ou est-ce juste le précipice derrière ça?
Merci pour vos remarques



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