Bonjour,
Je vous fait partager mon travail sur l'écriture du Théorème de Fermat avec les polynômes de Girard. Vu que les 2 hommes étaient contemporains, peut-être que sous cette forme on pourrait avoir un début d'"intuition" du comment du pourquoi Fermat aurait pu voir la lumière.
Bref, même si ça ne semble pas (me) permettre d'aller très loin, je vous le fais partager, car c'est quand même très intrigant!
Allez. On pose:
Du coup le théorème de Fermat s'écrit (n premier):
Et la coprimalité du triplet (x,y,z) :
La récurrence:
On obtient alors pour commencer:
Avec, , on voit apparaître la forme:
, avec et des polynômes
On a donc .
A) Dans le cas soit :
Ces formes permettent de "voir" quelques cas "simples" . En effet, si , alors n ne divise pas le crochet [], et la multiplicité de n dans s est absurde.
Ainsi:
_ Pour , c'est immédiat
_ Pour , on peut facilement prouver que . En effet, on cherche . Or cela est impossible car .
_ Pour , malheureusement
_ Pour puissances suivantes, aucun schéma simple ne se dégage: cela dit, pour , et , l'ordinateur permet effectivement de vérifier que et , aboutissant à la contradiction voulue!
_ Pour , et zut, on a
On est très très très loin du résultat de Sophie Germain. D'une part parce qu'on n'utilise pas la coprimalité. Mais est-ce possible ici de l'utiliser?
B) Dans le cas :
On a . Donc par coprimalité, on est sûr que
Ensuite, rien ne va plus !!
Voilà.
Ca n'a pas mené bien loin, mais avouez que la forme est très troublante!
Je manque de connaissance pour y voir (ou y apprendre) plus de choses. Si toutefois certains ont des idées, ce sera avec plaisir!
Bonjour,
Mon avis:
La rubrique " détente" voit surtout des idées pratiques,amusantes ou
originales et ludiques.
Compte-tenu du niveau je conseillerais plutôt de poster en "supérieur ".
Bonne chance
N'est-ce pas ludique? Au moins pour travailler un peu l'arithmétique
Juste une précision pour le cas B)
Si on analyse plus finement la récurrence, des r se retrouvent isolés dans les 2 parenthèses.
la forme est
ici avec , tout le monde est divisible par n, , également Pn et Rn .
Tout le monde ... sauf les r, puisqu'on est dans le cas . !
Ainsi les 2 parenthèses ne sont pas divisibles par n
On obtient donc une forme ,
qui amène à penser que nécessairement p et s ont la même multiplicité sur n, sinon on aboutit à des absurdités.
Conclusion: en considérant le triplet , et
on arrive à
Voilà. Est-ce une contrainte intéressante? Voire contradictoire?Mirabile ?.... Ignoro !
Un éventuel sentier pour continuer la promenade? Ou est-ce juste le précipice derrière ça?
Merci pour vos remarques
Un peu de temps pour revenir sur cet ancien fil délaissé. Histoire de voir ce que ça donne avec un petit programme Python. Et de fermer proprement la porte. Car c'est sans issue
En résumé, avec les polynômes de Girard, le théorème de Fermat-Wiles s'exprime magnifiquement par:
avec
Pour , dans le cas , émergeait la forme .
Cela donnait nécessairement et avec la même multiplicité sur , chose assez étrange pour interpeler l'esprit .
Et bien Python a tranché: c'est sans issue, puisqu'on trouve rapidement (plein) de triplets qui satisfont ces conditions.
Quelques exemples parmi pléthores, rien que pour
Voilà. Dommage, c'était tellement beau
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