pour la 2 si tu supposes qu'il existe un autre polynôme Q vérifiant la propriété, tu as :

(P-Q)(cos x) = P(cos x) - Q(cos x) = cos nx - cos nx = 0
donc pour tout x on a (P-Q)(cos x) = 0

le polynôme P-Q est nul sur l'intervalle [-1,1] car on peut faire varier cos x de -1 à 1.
Il a donc une infinité de racines, le polynôme (P-Q) est alors le polynôme nul.
P-Q = 0   cad P = Q
donc P est unique.

bonsoir, j'ai encore quelques problèmes avec cet exo, j'ai trouvé la question 1,2,3, pour la 4 le monome dominant c'est 2^(n-1)X^n mais je n'arrive pas à le démontrer par récurrence. Ensuite je sèche totalement pour les deux autres questions, je sais que pour les racines il faut démontrer cos(nµ)=0 mais je n'y arrive pas ensuite c'est le flou total pour la 6ème question.
Encore merci

pour la question 5 :
si tu prends x = (2p+1)*/2n
avec p{0,1,...,n-1}
tu auras les cos x distincts deux à deux car
- les x sont distincts deux à deux

- on voit que 0 < (2p+1)*/2n <
donc 0 < x <
or entre 0 et la fonction cosinus est injective,
donc si x1 différent de x2 on aura cos x1 différent de cos x2

de ces deux constatations on déduit que les valeurs prises par cos x sont distinctes deux à deux.

et P(cos x) = P(cos (2p+1)*/2n) = cos [n*(2p+1)*/2n]

donc P(cos x) = cos [(2p+1)*/2]
-> et on sait que si k est impair on a cos (k*/2) = 0...
2p+1 est impair donc P(cos x) = 0 pour tous les x = (2p+1)*/2n
avec p{0,1,...,n-1}

il y donc n valeurs de x différentes tq P(cos x) = 0
et on a vu que cela voulait dire qu'il y avait n valeurs de cos x différentes...donc on a trouvé n racines de P : les cos x !
comme P est de degré n, ce sont les racines de P.
salut,

Bonjour, ca fait bientôt une semaine que je planche sur ce devoir et je n'ai toujours pas trouvé la solution à la question 6, ca me semble super compliqué, y a t il quelqu'un qui pourrait me donner un petit coup de pouce?
Encore merci pour tout