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Niveau Maths sup
polynômes de tchébychev
Posté par flopiflopa (invité)
hello tout le monde, je dois me pencher sur un DM, et je bloque un peu vers la moitié 
Voici l'intitulé
on considere la suite de polynômes de la facon suivante:
T0=1, T1=X , 
n de N*, Tn+1=2XTn - Tn-1
1) déterminer le terme de + haut degré de Tn (réussi par une ptite récurence)
2)montrer que n de N* O de R , Tn(cos O) = cos nO (réussi encore une fois par récurence)
3)déterminer les racines de Tn et factoriser Tn (non réussi)
4)montrer que n de N (1 - X²)Tn'' - XTn' + n²Tn = 0 (non réussi)
5)je n'arrive pas a écrire cette derniere qstion car elle contient trop de symboles, alors tant pis ^^
Voila, si vous pouviez m'aider pour la 3 et la 4, ca serait sympa
pour 3 et 4 il faut utiliser la relation de 2
on commence par rechercher les racine de Tn de la forme cos(k) (ie comprise entre -1 et 1
tn(cos(k)) =0 equivaut a Cos(n*k)= 0 que tu sais ressoudre
tu resout, tu compte les racine tu compare avec le degré de Tn tu en deduit qu'il na pas de racine en dehors de [-1..1], et voila, tu a toute les racines de Tn
(tu peut simplifier un peu leur expression en les mettants sous forme de sinus de memoire, mais bon...)
4) derive deux fois la relation du 2 et tu devrait t'en sortir
5) la je peut rien pour toi ^^
Posté par flopiflopa (invité)re : polynômes de tchébychev
dans la 4), il faut aussi en déduire les coeffs de Tn
Posté par flopiflopa (invité)re : polynômes de tchébychev
navré, je suis peut-être lent a la détente mais cos nk = 0 équivaut a nk congrue a pi/2 modulo pi, ok, mais qu'est ce que je peux en déduire?qu'il y a autant de possibilités que le nombre de racines que le degré de Tn implique?
ba n k = Pi (2t+1)/2, t dans Z
donc
k= Pi*(2*t+1)/(2*n)
donc les racine de Tn sont x= cos(Pi*(2t+1)/2n), (la reciproque est trivial)
et la tu montre qu'il y a n racine distincte la dedans (il suffit de montré qu'il y en a au moins n distincte en fait)
tu verifie que Tn est de degré n
donc Tn a au plus n racine, tu en a trouvé n donc tu a toute les racine de Tn
Posté par flopiflopa (invité)re : polynômes de tchébychev
ok pour le principe, mais on veut les valeurs telles que cos nk = 0, et cette égalité est vérifiée si k= Pi*(2*t+1)/(2*n), cad pour cos(n(Pi*(2t+1)/2n)), cad pour cos(Pi*(2t+1)/2) non?
non
tu cherche les racine de Tn qui sont de la forme cos(k)
or Tn(cos(k)) =cos(nk)
donc cos(k) racine de Tn equiquivaut a cos(nk)=0
tu calcule k, et apres tu prend cos(k), pas cos(nk)