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Polynômes /Division euclidienne /Pgcd

Posté par
princesyb
13-01-22 à 20:33

Bonjour j'ai un exercice ou on me demande de faire la division euclidienne de x4+x3-x+m par x 2+x+1
En faisant la duvusion euclidienne j'obtiens x4+x3-x+m=(x2-1)(x2+x+1)+m+1

Ensuite on m'a demandé de calculé le pgcd et j'ai multiplié x4+x3-x+m par \frac{1}{m+1}-1

Et j'ai obtenu \frac{1}{m+1}-1(x^2-1)(x^2+x+1)
(x^2+x+1)\frac{-m}{m+1}(x^2-1)

Et j'en ai déduit que pgcd c'est\frac{-m}{m+1}(x^2-1)

Esce exact ?

Posté par
carpediem
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 13-01-22 à 21:03

salut

revois ton énoncé qui n'est pas clair ....

ensuite si P est un pgcd de deux polynomes alors kP en est un autre ...

tout ça pour dire que ...

Posté par
GBZM
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 13-01-22 à 21:05

Bonsoir,

Non, ce n'est pas exact et je ne comprends pas le sens de ce que tu fais. Ça ne rime à rien.
Il convient bien sûr de discuter suivant la valeur du paramètre m.

Posté par
princesyb
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 13-01-22 à 21:28

carpediem @ 13-01-2022 à 21:03

salut

revois ton énoncé qui n'est pas clair ....

ensuite si P est un pgcd de deux polynomes alors kP en est un autre ...

tout ça pour dire que ...


GBZM @ 13-01-2022 à 21:05

Bonsoir,

Non, ce n'est pas exact et je ne comprends pas le sens de ce que tu fais. Ça ne rime à rien.
Il convient bien sûr de discuter suivant la valeur du paramètre m.


D'accord je vois c'est pas correct
En fait je me suis dit si on a P=GQ+R

Si je se ramene à la forme GQ+0 ,G sera le pgcd parce que on a obtenu un diviseur tel que le reste vaut 0

Posté par
princesyb
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 13-01-22 à 21:31

GBZM @ 13-01-2022 à 21:05

Bonsoir,

Non, ce n'est pas exact et je ne comprends pas le sens de ce que tu fais. Ça ne rime à rien.
Il convient bien sûr de discuter suivant la valeur du paramètre m.


Le problème m peut valoir tout et n'importe quoi car m appartient à R(ensemble des réels)
Si m=-1 alors pgcd=x2+x+1

Ensuite m peut avoir plusieurs autres valeurs ,les écrire  un à un c'est pas possible [bleu][/bleu]

Posté par
carpediem
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 13-01-22 à 22:24

princesyb @ 13-01-2022 à 20:33

En faisant la duvusion euclidienne j'obtiens x4+x3-x+m=(x2-1)(x2+x+1)+m+1


le cas m = -1 est par exemple vite traité ...

Posté par
GBZM
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 13-01-22 à 23:24

Si m=-1 alors x^2+x+1 divise x^4+x^3-x+m et donc le pgcd est x^2+x+1, c'est d'accord.
Si m\neq -1 le reste de la division euclidienne est une constante non nulle. Tu devrais pouvoir en conclure quel est le pgcd (qui est défini à un facteur constant non nul près). En tout cas, ça n'a rien à voir avec ton premier message.

Posté par
princesyb
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 14-01-22 à 06:05

carpediem @ 13-01-2022 à 22:24

princesyb @ 13-01-2022 à 20:33

En faisant la duvusion euclidienne j'obtiens x4+x3-x+m=(x2-1)(x2+x+1)+m+1


le cas m = -1 est par exemple vite traité ...


Oui c'est le cas facil
GBZM @ 13-01-2022 à 23:24

Si m=-1 alors x^2+x+1 divise x^4+x^3-x+m et donc le pgcd est x^2+x+1, c'est d'accord.
Si m\neq -1 le reste de la division euclidienne est une constante non nulle. Tu devrais pouvoir en conclure quel est le pgcd (qui est défini à un facteur constant non nul près). En tout cas, ça n'a rien à voir avec ton premier message.


Pas compris conclure que vaut le pgcd .On peut en déduire le pgcd en sachant uniquement que c'est une constante non nulle qu'on a comme reste de la division ?



Et comment ça ,ça n'a aucun rapport avec mon 1re message ???

Posté par
GBZM
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 14-01-22 à 07:21

Citation :
On peut en déduire le pgcd en sachant uniquement que c'est une constante non nulle qu'on a comme reste de la division ?

Oui bien sûr. Ça fait partie des réflexes standard quand on utilise l'algorithme d'Euclide pour la recherche du pgcd.  C'est comme quand on trouve 1 comme reste quand on fait l'algorithme d'Euclide sur des entiers.
Quant à ton premier message, je ne vois vraiment pas quel rapport il a avec la recherche du pgcd. Pourrais-tu expliquer clairement en quoi les calculs que tu y fais ont rapport avec le calcul du pgcd ? As-tu remarqué par exemple que tu trouves un "pgcd" qui ne divise pas x^2+x+1 ?

Posté par
princesyb
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 14-01-22 à 07:40

Par exemple pour m-1

Je sais que x^4+x^3-x+m=(x^2-1)(x^2+x+1)+(m+1)

Après l'algorithme d'Euclide dit de prendre (x^2+x+1) comme dividende et m+1 comme diviseur
Mais le problème je n'arrive jamais à trouver 0 comme resté pour en déduire le pgcd(sera le diviseur qui faut que le reste est nul)

princesyb @ 13-01-2022 à 20:33

Bonjour j'ai un exercice ou on me demande de faire la division euclidienne de x4+x3-x+m par x 2+x+1
En faisant la duvusion euclidienne j'obtiens x4+x3-x+m=(x2-1)(x2+x+1)+m+1

Ensuite on m'a demandé de calculé le pgcd et j'ai multiplié x4+x3-x+m par \frac{1}{m+1}-1

Et j'ai obtenu \frac{1}{m+1}-1(x^2-1)(x^2+x+1)
(x^2+x+1)\frac{-m}{m+1}(x^2-1)

Et j'en ai déduit que pgcd c'est\frac{-m}{m+1}(x^2-1)

Esce exact ?



En fait vu que le pgcd s'obtient (on prend le diviseur) lorsqu'on trouve un reste qui vaut 0.Je me suis dit je vais essayé d'annuler le reste et donc grâce à cela je vais obtenir le pgcd mais je apparemment c'est faux comme méthode
Voilà

Posté par
GBZM
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 14-01-22 à 09:32

M'enfin ???
Une constante non nulle est inversible dans l'anneau de polynômes sur un corps, elle divise donc n'importe quel polynôme !

Écris la division euclidienne de x^2+x+1 par m+1 quand m\neq -1, pour comprendre !

Posté par
princesyb
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 15-01-22 à 07:56

[etex]-x^2+x+1=(m+1)(\frac{x^2}{m})-\frac{x^2}{m}+x+1[/tex]


Après je dois diviser m+1 par -\frac{x^2}{m}+x+1

Sauf que j'ai essayer mais je n'aboutît a rien

Posté par
GBZM
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 15-01-22 à 12:04

S'il te plait, n'écris pas n'importe quoi !

Citation :
x^2+x+1=(m+1)(\frac{x^2}{m})-\frac{x^2}{m}+x+1

Ce n'est absolument pas une division euclidienne !
Oublies-tu que le reste dans une division euclidienne est nul ou de degré strictement plus petit que le polynôme par lequel on divise  ? Ici tu divises par m+1, une constante supposée non nulle. Quel est le degré d'une constante non nulle ?
La division du polynôme a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0 par une constante non nulle c, c'est tout simplement

a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0 = c\times \left(\dfrac{a_n}cx^n+\cdots+\dfrac{a_1}cx+\dfrac{a_0}c\right).

Posté par
princesyb
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 15-01-22 à 21:17

Le degré d'une constante non nul est 0
degré du reste < degré du diviseur.Mon diviseur ici est m+1
donc ça veut dire mon reste doit être de degré 0 ou bien ?

Posté par
princesyb
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 15-01-22 à 21:18

Du coup x2+x+1 je peux pas la diviser par m+1?

Posté par
GBZM
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 15-01-22 à 23:16



x²+x+1 = (m+1)\left( \dfrac{x^2}{m+1}+ \dfrac{x}{m+1}+\dfrac1{m+1}\right)

Posté par
princesyb
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 16-01-22 à 13:06

Donc on pouvait ça ,je savais pas
Donc le pgcd =\frac{x^2}{m+1}+ \frac{x}{m+1}+ \frac{1}{m+1}
?vu le reste est =0

Posté par
GBZM
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 16-01-22 à 14:21

Ça va de mal en pis.
Fais un control-reset, reprends les choses calmement et sans raconter n'importe quoi (ce que tu fais actuellement).

Posté par
princesyb
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 16-01-22 à 20:11

Vraiment c'est difficile hein .Pourtant en général dans les exos avec polynômes et division euclidienne je trouve mais il faut avouer j'ai jamais fait un exo avec un paramètre (ici m)ça le perturbe un peu et je sais pas comment résoudre ce genre de problème

Posté par
GBZM
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 16-01-22 à 21:12

J'attends que tu reprennes les choses de façon raisonnable.

Posté par
princesyb
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 17-01-22 à 06:28

Ok d'accord on recommence depuis le début.
Tout d'abord je dois faire quoi pour que je puisse bien démarrer ?

Posté par
GBZM
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 17-01-22 à 17:32

Tu dois comprendre ce qu'est la division euclidienne des polynômes, y compris quand on divise par une constante non nulle.
Une constante non nulle est inversible dans l'anneau des polynômes sur un corps, et par conséquent elle divise (avec reste nul) tout polynôme.

Posté par
GBZM
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 17-01-22 à 17:32

Je l'avais déjà écrit plus haut, mais ça n'a pas imprimé chez toi.

Posté par
lafol Moderateur
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 18-01-22 à 11:58

Bonjour
une petite remarque au passage : quand on écrit un quotient, on doit TOUJOURS s'assurer au préalable qu'on n'est pas en train de diviser par zéro !
princesyb divise tantôt par m+1, tantôt par m, sans jamais se poser la question auparavant " et si m vaut -1 ?", " et si m vaut 0 ?"
Fut un temps où on prenait ce genre de réflexe au collège, manifestement ce n'est plus le cas ... peut-être n'est-il pas encore trop tard ?

Posté par
princesyb
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 18-01-22 à 13:42

GBZM @ 17-01-2022 à 17:32

Tu dois comprendre ce qu'est la division euclidienne des polynômes, y compris quand on divise par une constante non nulle.
Une constante non nulle est inversible dans l'anneau des polynômes sur un corps, et par conséquent elle divise (avec reste nul) tout polynôme.


C'est quoi un anneau?je n'ai pas étudié cette notion meme si je sais que certains L2 ils font ça

Posté par
princesyb
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 18-01-22 à 13:44

lafol @ 18-01-2022 à 11:58

Bonjour
une petite remarque au passage : quand on écrit un quotient, on doit TOUJOURS s'assurer au préalable qu'on n'est pas en train de diviser par zéro !
princesyb divise tantôt par m+1, tantôt par m, sans jamais se poser la question auparavant " et si m vaut -1 ?", " et si m vaut 0 ?"
Fut un temps où on prenait ce genre de réflexe au collège, manifestement ce n'est plus le cas ... peut-être n'est-il pas encore trop tard ?


Ok je vois il fait toujours préciser si on divise m avec m0 et si on divise par m+1 avec m -1

Posté par
GBZM
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 18-01-22 à 17:51

Alors, cette reprise de l'exercice ?

Posté par
princesyb
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 18-01-22 à 19:46

Bon moi je suis perdu je sais pas quoi faire

Posté par
GBZM
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 18-01-22 à 21:08

Recommencer calmement l'exercice.

Posté par
princesyb
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 18-01-22 à 21:15

Moi j'ai tout essayé je sais pas comment résoudre cette exo du coup je laisse tomber

Merci quand même pour votre aide

Posté par
GBZM
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 21-01-22 à 14:12

Pour ne pas laisser l'impression que cet exercice est difficile, alors qu'il demande juste d'avoir une compréhension de ce qu'est la divisibilité entre polynômes et en particulier de ce qui se passe pour les polynômes de degré 0, c.-à-d. les constantes non nulles :

x^4+x^3-x+m=(x^2+x+1)(x^2-1)+m+1
Si le reste m+1 est nul, c.-à-d. Si m=-1 alors x^2+x+1 divise x^4+x^3-x+m=x^4+x^3-x-1, et donc leur pgcd est x^2+x+1.
Sinon, m+1 est une constante non nulle qui divise tout polynôme. Le pgcd unitaire des deux polynômes est 1, ils sont premiers entre eux.

Posté par
princesyb
re : Polynômes /Division euclidienne /Pgcd 21-01-22 à 15:49

Merci beaucoup j'ai pris un peu de temps à comprendre mais avec vos explications j'ai compris



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