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Niveau Maths sup
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polynomes et bornes sup

Posté par RisingSun (invité) 16-05-05 à 21:22

Bonsoir tout le monde!

J'ai un devoir de maths à faire pour demain, et j'ai une question que je n'arrive pas à faire :

On a une fonction :

f_n(x)=\sum_{k=0}^n \(n\\k\).f(\frac{k}{n}).x^k.(1-x)^{n-k}

Et on pose f(x)=x^2

Il faut montrer que :
Sup, pour x\in[0;1] de f_n(x)-f(x)| \le \frac{1}{4n}

Quelqu'un pourrait-il m'aider siouplait ? J'ai cherché pendant
une heure avec mon frère qui est en licence de Physique et on a
pas trouvé!

Merci bcp bcp!

Posté par pat94 (invité)re 16-05-05 à 22:04

cher sun g une solution pour toi mais elle est assez longue a rediger il fo ke tu t'appuies sur le binome de newton appliqué a (x+y)^nque tu derives deux fois par rapport a x puis tu remplaces y par 1-x
si tu ne dors pas et ke tu seches encore dis le moi je te redigerai le truc
bisou

Posté par RisingSun (invité)merci pat! 16-05-05 à 22:22

non je ne dors pas!

merci de ton indic!

je vais chercher et te dire si j'y arrive!

Posté par pat94 (invité)re : polynomes et bornes sup 16-05-05 à 22:23

on a (x+y)^n =   \(n\\k\) xky(n-k)

si tu derives par rapport a x puis multiplies par x tu obtiens k \(n\\k\) xky(n-k) = n x (x+y)n-1
puis si tu remplaces y par 1-x dans le membre de droite tu obtiens:
k \(n\\k\) xk(1-x)(n-k) = n x
si ensuite tu rederives par rapport a x puis tu multiplies par x tu btient :  k 2 \(n\\k\) xky(n-k) = nx(nx+y)(x+y)n-2
puis tu remplaces y par 1-x et tu obtiens:
k2 \(n\\k\) xk(1-x)(n-k) = n x ((n-1)x +1)
donc :
k2/n2 \(n\\k\) xk(1-x)(n-k) - x2 = x ((n-1)x +1)/n -x2 = 1/n (x(1-x))
or x(1-x)1/4  (etudie la fonction pour ten persuader)

et voila ton resultat avec f(x) = x^2

allez bon devoir a toi

Posté par RisingSun (invité)polynome... 16-05-05 à 22:24

en fait, je n'arrive pas à comprendre comment je pourrai prouver que fnx - f(x) sera inférieur à 1/4n une fois que j'aurai utilisé la formule du binome de newton appliquée à f(n)x. Tu as trouvé quoi comme solution toi ?

Posté par RisingSun (invité)ok 16-05-05 à 22:26

j'ai compris!

merci bcp de ton aide!

Posté par RisingSun (invité)question... 16-05-05 à 22:31

Est-ce que je peux t'embêter avec une derniere question ?

Posté par pat94 (invité)re : polynomes et bornes sup 16-05-05 à 22:39

oui

Posté par RisingSun (invité)question finale 16-05-05 à 22:44

En fait, à une question précédente, j'ai réussi à montrer que :

\frac{x(1-x)}{n}.f'_n(x)=g_n(x)-x.f_n(x)

Seulement, il faut maintenant montrer que :

\sum C_n^k(\frac{k}{n}-x)^2.x^k.(1-x)^{n-k}=\frac{x(1-x)}{n}

Et là je nage complétement!

Posté par pat94 (invité)re : polynomes et bornes sup 16-05-05 à 22:48

tu remarqueras ke ca ressemble au resultat ke je t'ai donné
si tu developpes (k/n-x^2) tu obtiens dtrois termes dont le premier est celui en x^2 et les deux otres sont a un facteur 1/n pres et 1/n^2 les deux termes ke jai obtenus en dérivant tu ne les reconnais pas?
regarde ma demonstration precedente tu verras

Posté par pat94 (invité)re : polynomes et bornes sup 16-05-05 à 22:49

erratum: le carré est a lexterieur de la parenthese soit: (k/n-x)^2

Posté par RisingSun (invité)merci pour tout! 16-05-05 à 22:49

merci pat! c'est sympa de m'avoir aidé! tu enseignes les maths à quel niveau ?

Posté par pat94 (invité)re : polynomes et bornes sup 16-05-05 à 22:54

je ne suis pas prof (j'aimerais bien)
je suis en fin de classes preparatoires (en plein concours!!!)
dis moi m..... !

Posté par RisingSun (invité)alors je dis... 16-05-05 à 22:55

M! et je le sème sur ma planète!

Bonne chance et merci encore!

jul

Posté par RisingSun (invité)au fait 16-05-05 à 22:55

tu vises quelles écoles?

Posté par pat94 (invité)re : polynomes et bornes sup 16-05-05 à 22:56

bah j'aimerais integrer une ENs
le concours de normale commence jeudi ca va chauffer un max!

Posté par RisingSun (invité)les ens 16-05-05 à 22:58

tu vises quelles ens en province ?

Posté par pat94 (invité)re : polynomes et bornes sup 16-05-05 à 22:59

bah yen a trois :ULM lyon cachan tu es sur kon parle des memes?

Posté par RisingSun (invité)ens 16-05-05 à 23:02

je sais pas!

Pat, je te souhaite bonne nuit en tout cas, moi je vais au dodo!

vive les maths!

Posté par pat94 (invité)re : polynomes et bornes sup 16-05-05 à 23:03

+++ mec bon courage pour la suite

Posté par RisingSun (invité)pat... 16-05-05 à 23:13

je vais être honnete avec toi :

je suis trop fatigué et j'arrive vraiment pas à faire la dernière question que je t'ai demandée... tu peux me dire comment tu fais stp ?



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