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Niveau Maths sup
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Polynômes et espace vectoriel...

Posté par arf (invité) 30-12-04 à 02:03

Bonjour tout le monde, voilà, je bloque un peu sur une question de mon DM, si quelqu'un pouvait m'aider à la résoudre oubien à trouver une piste... :

Etant donné P \in \mathbb{R}\left[ {\rm X} \right] un polynôme à coefficients réels, on pose :
\delta (P): = P({\rm X}) - P\left( {{\rm X} - 1} \right).

1. Montrer que définit un endomorphisme du -espace vectoriel [X].
2. Montrer que \operatorname{Ker} \delta= \mathbb{R}_0 \left[ {\rm X} \right].
Indication : On pourra montrer qe pour tout P \in \operatorname{Ker} \delta , le polynôme P-P(0) admet une infinité de racines.

Pour la question 1 c'est OK, mais c'est pour la question 2 que je bloque, merci d'avance pour votre aide.
Bonne soirée et bonne année

Posté par minotaure (invité)re : Polynômes et espace vectoriel... 30-12-04 à 03:02

salut
2. montrons que ker d = R0[X]

soit P dans R0[X] P  est de la forme P=k ou k est une constante.
d(P)=P(X)-P(X-1)=k-k=0
donc P est dans ker d.

l'autre inclusion :
MAIS avant, occupons nous de l'indication.
P est dans ker d.
donc P(X)-P(X-1)=0. (1)
soit Q=P-P(0).
on calcule Q(0)=P(0)-P(0)=0. donc O solution de Q.
Q(1)=P(1)-P(0) donc d'apres (1) 1 est solution.
maintenant montrons que pour tout n dans N Q(n)=0.
recurrence sur n.
pour n=0 ou n=1. ok c'est fait.

soit n dans N* tel que Q(n)=0.
on regarde Q(n+1)=P(n+1)-P(0)
or d'apres (1), P(n+1)=P(n)
donc Q(n+1)=P(n)-P(0)=Q(n)=0 d'apres hypothese de recurrence.
donc pour tout n dans N, Q(n)=0.
Q a donc une inifinite de racines.

fin de la demostration de l'indication.

Q est donc le polynome nul. (car on est dans le corps R qui est commutatif).
P-P(0)=0 (polynome nul).

donc P=P(0) polynome constant tel que pour tout X dans R, P(X)=P(0).
P est donc dans R0[X]

les 2 inclusions ont ete demontrees.
c'est donc egalites entre les 2 ensembles.


a+

Posté par arf (invité)re : Polynômes et espace vectoriel... 30-12-04 à 03:28

Un très grand merci pour ton aide!



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