Bonjour

Regarde plutôt ce qui se passe pour les x où sin(x) (resp. cos(x)) s'annule

Je n'ai pas précisé, mais en fait on commence par supposer qu'il existe un couple P, Q qui vérifie bien l'identité. Ensuite, on évalue pour les valeurs de x où sin(x) est nul. Ca s'appelle un raisonnement par analyse-synthèse

>> Zormuche

bonsoir et merci pour ton intervention.

Si j'ai bien compris à quoi ta suggestion veut me faire aboutir, alors en faisant la supposition que tu indiques, propre au raisonnement analyse-synthèse (que je ne connaissais pas...), je pose :

Conditions sur P :    

Conditions sur Q :    

Qu'en dis-tu ?

Oui. On a démontré que si (P, Q) est un couple vérifiant l'identité, alors P(pi/2+k*pi) = 0 pour tout k, et Q(0+k*pi) = 0 pour tout k.

Donc ces polynômes ont une infinité de racines distinctes
Donc ?

Eh bien, je crois savoir que le seul polynôme qui a une infinité de racines est  O, le polynôme nul.

Si c'est bien la conclusion, on en reviendrait au cas trivial que j'évoquais dans mon premier message,    sauf que je pensais que P et Q devaient être nuls simultanément. Là, en respectant les conditions qui leurs sont demandées sur la valeur de  l'indéterminée, un des polynômes peut être nul sans que l'autre le soit

Est-ce bien cela ?

Non, je crois que tu n'as pas bien compris le sens du raisonnement

On vient de montrer que si P et Q sont deux polynômes vérifiant l'identité, alors P et Q sont tous les deux nuls

Maintenant, pour la bonne forme, il faut vérifier que (P=0, Q=0) est bien une solution de l'identité, ce qui est trivial

On aura alors montré :

Oui,  effectivement, les deux polynômes doivent être nuls, indépendamment du fait que l'analyse a nécessité de trouver des valeurs distinctes de l'indéterminée pour P et Q ; mais comme dans les deux cas, on leur trouve une infinité de racines, tous les deux sont nuls.

Intéressant comme cas, surtout lorsque l'on ne connaît (connaissait) pas ce mode de raisonnement.

Encore merci pour ton intervention.