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polynômes factoriser et déterminer

Posté par
sinseya 22-08-20 à 12:20

bonjour,
j'aurais besoin d'aide pour factoriser sur une partie de l'énoncé, et de déterminer les réels

voici l'énoncé:
1°) Factoriser les expressions suivantes :
4x²-7 ; (2x - 7)² -16 ; (7x + 1)² -5
2°) Soient les polynômes : P(x) = 4x²+12x+8 et Q(x) = 9x²+12x-12
a) Vérifier que 4x²+12x = (2x+3)²-9. En déduire une factorisation de P(x).
b) Déterminer les réels a, b et c tels que 9x²+12x=(ax+b)²+c. En déduire une factorisation de Q(x).
3°) En s'inspirant du 2°), factoriser les polynômes suivants 36x²+12x-15 ; 5x² -2 × 5x - 3

alors le 1), c'est fait, le 2) je bloque sur le b)
j'ai commencé par écrire que 9x² = 3*ax*b=3*3x*b=9x*b et que 9x²=(3x)² donc a=3 en me basant sur (a+b)² après je ne sais pas comment déterminer b et c

et pour le 3), j'arrive pas à factorisé
36x²+12x-15 j'ai commencé par 3*12*x*x+3*6*x-3*5 pour essayer de trouver un facteur commun qui serait peut-être le 3, sauf que je bloque pour continuer avec mon 5...
qui peut m'aider? merci

Posté par
heklare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 12:32

Bonjour

Bonne idée de se baser sur (a+b)^2 En revanche c'est une mauvaise de tout appeler a et b

on va donc passer en majuscule (A+B)^2=A^2+2A B +B^2

que vous avez commencé par écrire  (3x)^2+2\times (3x)\times B+B^2

Sachant que 2\times 3\times B =12  Que vaut B  ?

Posté par
sinseyare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 12:49

B=2
donc (3x)²+2*(3x)*2+2² c'est ça?

Posté par
heklare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 12:52

Oui 9x^2+12x+4=(3x+2)^2

que vaut alors 9x^2+12x ?

Posté par
sinseyare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 13:02

pourquoi +4, je ne vous suit pas?

Posté par
heklare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 13:10

4=2^2

Citation :
(3x)²+2*(3x)*2+2²


Ceci est bien égal à (3x+2)^2

Posté par
sinseyare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 13:15

en le développant oui mais mon initiale c'est -12 pas +4, je comprends plus rien

Posté par
heklare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 14:02

Pour l'instant on se contente de 9x^2+12x

on va donc pouvoir écrire  9x^2+12x=(3x+2)^2-4

Par suite on aura alors 9x^2+12x-12=\underbrace{(3x^2+2)^2-4}_{\text {question précédente}}-12

Là on reconnaît une autre identité remarquable  permettant la factorisation

Posté par
sinseyare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 17:02

excusez-moi, je me suis permise de faire une pause car je m'embrouillais l'esprit
donc, si je vous ai bien compris le +4 est devenu -4 ce qui veut dire que c'est c

en développant (3x+2)²-4 je retrouve bien 9x²+12x

pour la factorisation j'ai refais comme le précédant et je trouve (3x+6)(3x-2), en espérant que je ne me suis pas trompée

Posté par
sinseyare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 17:04

et donc mes réels a, b et c sont a=3, b=2 et c=-4

Posté par
heklare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 17:41

Vous avez tout à fait raison il vaut mieux aller faire un tour que  s'acharner sur un exercice. On revient souvent avec un regard neuf.

Oui c=-4

(3x+2)^2-16=(3x+2-4)(3x+2+4)=(3x-2)(3x+6)

Posté par
sinseyare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 18:01

ah super, merci beaucoup
j'ai donc factorisé 36x²+12x-15 entre temps et j'ai retiré -15 pour trouver mon égalité et faire comme juste avant , j'espère que c'était ça et j'ai donc trouvé (6x+5)(6x-3) pour la factorisation
j'espère que c'est bon

Posté par
heklare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 18:20

36x^2+12x=(6x+1)^2-1

36x^2+12x-15=(6x+1)^2-16=(6x+1-4)(6x+1+4)=(6x-3)(6x+5)

TB

Posté par
sinseyare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 18:28

la dernière est plus costaud sachant que j'ai mal écrit dans l'énoncé
c'est 5x² -2 × 5x - 3
précision c'est 2 fois et non 2x et la racine de 5 ne recouvre pas le x
donc j'ai traduit par 5x² -25x-3

j'ai retiré le -3 et je me retrouve avec la 5 qui m'embête pour le développement, je retrouve pas 5x² dans ma vérification.

Posté par
heklare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 18:54

Peu de changement  si l'on se souvient que  5=\sqrt{5})^2

on a donc (x\sqrt{5})^2-2 (x \sqrt{5})\times 1=

Posté par
sinseyare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 19:12

je suis de nouveau perdue
j'avais mis a= 5x
et si je vous suis a=x5 si j'ai bien compris

Posté par
heklare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 19:38

On a bien la même chose  x\sqrt{5}=\sqrt{5} x commutativité

  mais l'avantage de la première écriture  est de montrer que x n'est pas sous la racine.
Pas besoin de rajouter un petit trait ou de le spécifier particulièrement

Posté par
sinseyare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 19:52

ok, donc j'avais du mal développer, je recommence

Posté par
sinseyare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 20:51

donc a=x5 et b=1
j'arrive donc sur (x5-1)²-1
mais quand je veux vérifier j'arrive toujours pas à trouver mon 5x² je trouve (x5)²

Posté par
heklare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 21:16

On est bien d'accord 5x^2-2x\sqrt{5}=(x\sqrt{5}-1)^2-1

(x\sqrt{5})^2= (x)^2\times (\sqrt{5})^2=x^2\times 5 ou 5x^2

Posté par
sinseyare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 21:32

ben oui, je fatigue...
donc  (x5-1)²-1-3 me donne
(x5+1)(x5-3)
je me demande pourquoi je me creuse la tête comme ça

Posté par
heklare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 21:41

Parce que ce n'est pas encore revenu en automatisme

C'est bien cela  5x^2-2x\sqrt{5}-3 =(x\sqrt{5}+1)(x\sqrt{5}-3) \\

Posté par
sinseyare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 21:51

je me suis fais des petites notes car c'est souvent avec les que je fais des erreurs
en tout cas merci beaucoup

il me reste un exercice sur la factorisation et pour le moment j'y arrive, à voir à la question sur la fraction
a) Pour quelles valeurs de x, F(x) est-elle définie ?
je me rappelle de la définition donc je devrais y arriver
bonne soirée

Posté par
heklare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 21:56

Avez-vous pu résoudre les 3 autres problèmes que vous avez postés ?

il y en a deux sur les  vecteurs

S'il y a des questions revenez les poster  pour la fraction ouvrez-en un autre

puisque 1 sujet= un exercice

De rien

Posté par
sinseyare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 21:59

j'ai regardé vos réponses et je crois avoir compris pour ci mais j'ai préféré me concentrer sur la factorisation aujourd'hui, je verrais le reste demain

Posté par
heklare : polynômes factoriser et déterminer 22-08-20 à 22:06

J 'allais d'ailleurs vous conseiller d'éviter de faire tous les exercices en même temps

Il vaut mieux l'un après l'autre
À demain
Bonne soirée


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