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polynomes irréductibles
Bonjour,
voici des polynomes, sont-ils irréductibles sur Q[X] ou R[x].
Si non, peut-on les décomposer en facteurs irréductibles?
a) p(x) = x3 - x +1
b) p(x) = 2x6 -6x5 + 3x3 - 9x2 - 15x +45
c) p(x) = 2x4 + 6x3 + 9x2 + 9x + 9
d) p(x) = x6 - x4 - 3x2 +3
e) p(x) = 20 x7 - 48x6 + 169x5 + 408x4 - 309x3 - 603x2 -84x + 63
Merci beaucoup
Je connais les critères d'Eisenstein. Ce que je ne comprends pas,c 'est quand c'est irréductible sur R[x] , et comment on peut les décomposer , merci encore
Bonjour,
Ce qu'il faut savoir pour factoriser sur R[x] c'est le fait que
1) C est algébriquement clos
2) C est une extension de degré 2 de R
En particulier, on a le théorème suivant:
Tout polynôme à coefficients dans R[x] se factorise en produit de polynôme de degré 1 ou 2. Un polynôme de degré est irréductible si et seulement si son discriminant est négatif.
Il n'y a pas d'algorithmes pour factoriser dans R[x] (à ma connaissance). Il faut essayer de factoriser sur QQ, de trouver des racines évidentes, ... jusqu'à arriver à des polynomes de degré 1 ou 2.
Bonjour,
x3 - x +1 une seule racine réelle, très compliquée ~ -1.32472
2x6 -6x5 + 3x3 - 9x2 - 15x +45=(x-3)(2x5+3x2-15)
(2x5+3x2-15 a une racine réelle ~1.36343 et 4 autres complexes)
2x4 + 6x3 + 9x2 + 9x + 9=(x2+3x+3)(2x2+3)
x6 - x4 - 3x2 +3=(x-1)(x+1)(x4-3)
20x7 - 48x6 + 169x5 + 408x4 - 309x3 - 603x2 -84x + 63=(5x+3)(4x2-7) (x4-3x3+12x2+9x-3)
(les racines de x4-3x3+12x2+9x-3 sont compliquées ~0.252957 et 0.252957 les deux autres sont des nombres complexes)
salut
on peut se rappeler en étudiant les limites et du fait de la continuité d'un polynôme que tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle ....
Il y a quand même une étude dans 
[X] qui est demandée.
...A := X3 - X + 1 est irréductible dans [X] .
Sinon A admet une racine r 
non nulle donc de la forme r = p/q où p et q sont dans 
et premiers entre eux donc p3 - pq² + q3 = 0 .
Cherche une contradiction .
...Si la factorisation de Glapion est bonne il te reste à voir si
2X5 + 3X² - 15
X² + 3X + 3
2X² + 3
X4 - 3
4X² - 7
X4 - 3X3 + 12X² + 9X - 3
sont irréductibles dans [X] .
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