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Niveau Maths sup
Polynomes premiers entre eux
Posté par gwenoul (invité)
Bonjour,
Je n'arrive à montrer ceci (j'ai essayé Bezout mais je n'y arrive pas):
Q est un polynome de degré 2 et de coefficients réels et n'admet pas de racines doubles.
Montrer que Q et Q' sont premiers entre eux.
Merci de votre aide
Bonjour gwenoul
Utilise le fait que 2 polynômes réels sont premiers entre eux si et seulement s'ils n'ont aucune racine (complexes) en commun.
Kaiser
Posté par gwenoul (invité)re : Polynomes premiers entre eux
Merci Kaiser
J'ai redémontré la propriété.
De plus j'ai : 2 x P' x Q = n x P x Q' et il faut démontrer que P divisible par Q.
Une fois j'ai essayé Bezout mais je n'y parvient pas.
Merci de votre aide
Dans ce cas, il suffit d'utiliser le théorème de Gauss vu que Q divise le terme de droite et qu'il est premier avec Q'.
Posté par gwenoul (invité)re : Polynomes premiers entre eux
Merci beaucoup.
C'était pourtant d'une évidence ! (à faire pâlir mon prof 
)
Bonjour gwenoul et Kaiser;
Avec dire que
est sans racine double c'est dire que
en écrivant
sous forme canonique on a
qui s'écrit encore
et avec
on a bien
Bonjour
Que pensez-vous de cette démonstration par la contraposée:
SI Q ET Q' ne sont pas premiers entre eux, ils ont un diviseur commun, qui est un polynome R de degré supérieur ou égal à 1, donc de degré 1 vu le degré de Q'.
R = k(x-a).
a est racine de R, et par conséquent racine de Q' et de Q, donc a est racine double de Q. Ce qui est contraire à l'hypothèse.
Jeanseb