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Polynômes sur un anneau commutatif

Posté par
tomsoyer 03-08-20 à 14:29

Bonjour,

Dans le cadre des polynômes sur un anneau commutatif, il est dit :
Fixons A un anneau commutatif. Il existe une extension B de A et un élément X de B tels que tout élément b de B admet une écriture unique : b=\sum_{i\leq 0} a_iX^i, où la suite (a_i)_{i\in \mathbb{N} de A^{\mathbb{N}} est à support fini.

Puis, dans la démonstration, il est écrit : Si l'on pose X:=(0,1,0...), on vérifie que
(a_i)_{i\in \mathbb{N}}= \sum_{i\leq 0} a_iX^i, et que c'est bien l'unique écriture de (a_i)_{i\in \mathbb{N} comme expression polynomiale en X à coefficient dans A.

Malheureusement, je ne comprends pas d'une part, comment on peut poser que X soit une suite et d'autre part, je ne suis pas sûr de comprendre l'expression polynomiale de la suite (a_i)_{i\in \mathbb{N}}.

Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes sur un anneau commutatif 03-08-20 à 14:46

Bonjour

Ce sont des définitions. On considère B l'ensemble des suites (a_i)_{i\in \N} telles que \{a_i|a_i\neq 0\} soit fini.
On définit l'addition (a_i)+(a'_i)=(a_i+a'_i) et la multiplication
(a_i)(a'_i)=(a_0a'_i+a_1a'_{i-1}+\dots+a_ia'_0).
Enfin, on pose X=(0,1,0,\dots,0\dots).
Il te reste à vérifier que c'est bien un anneau commutatif et qu'il vérifie toutes les propriétés signalées.

Posté par
tomsoyerre : Polynômes sur un anneau commutatif 03-08-20 à 15:14

Merci beaucoup pour votre réponse qui ma permit de comprendre mon problème.

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes sur un anneau commutatif 03-08-20 à 15:17


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