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Pont de planches
Bonjour à tous,
Un mur forme un angle droit avec le sol.
On décide de recouvrir ce mur avec des planches de bois rectilignes de 1m de long.
On place les planches une à une. Pour chaque planche posée, ses extrémités reposent soit sur le mur, soit sur le sol, soit sur une planche précédemment posée.
Poser deux planches verticalement puis une planche posée dessus n'est pas valide, car la première planche posée possède une extrémité ne reposant sur rien.
Les planches sont considérées comme d'épaisseur nulle. Tout se passe en 2D.
Quelle portion du plan pourra t-on recouvrir de planches si on continue de poser des planches à l'infini?
salut
je ne sais pas si j'ai bien compris les conditions car tu parles de couvrir le mur et dans la question tu parles de couvrir le plan ... mais je verrai bien un truc comme ça :
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ce n'est évidemment qu'un schéma ... qu'on poursuivrait "à l'infini" en posant de façon plus adéquate les planches bien sur
Ok, mon énoncé n'était pas assez clair...
On veut recouvrir le plan euclidien (au dessus du sol et à droite du mur)
On considère que la partie recouverte du plan correspond à tout les points situés en dessous d'au moins une planche.
ok alors j'avais donc compris et mon blank est valable (... ou non ?)
enfin la position/construction des planches est valide aussi ?
et ok on regarde "évidemment" un demi-plan (de toute façon ya symétrie !!!)
Oui, la position des planches est valide, mais il ne faut pas recouvrir seulement l'axe des abscisses, mais tout les points à de (
+)2
ben il me semble que si je peux mettre une planche AB je peux mettre une infinité de planche AB cote à cote ...
et que donc une vue d profil suffit ...
Bon, je crois qu'un dessin s'impose, qui vaudras mieux qu'un long discours... 
En noir épais, le sol et le mur
En noir moins épais, les planches
La partie en bleue est la partie recouverte
Quelle est l'aire bleue maximale?
à j'avais donc pas compris ...
pour moi le plan c'était le plancher des vaches !!!
donc c'est quelle proportion du quart de plan on peut "recouvrir" !!!
ben ça fait
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ouais non peut-être pas mais plus ... mais ça doit faire
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On place les planches une à une. Pour chaque planche posée, ses extrémités reposent soit sur le mur, soit sur le sol, soit sur une planche précédemment posée.
Il me semble que le pavage que j'ai proposé respecte ces conditions.
Il y a vraiment quelque chose qui m'échappe . . .
En regardant les dessins proposés j'ai l'impression que les planches ne sont pas bornées dans une direction ( elles n'ont que trois bords ).
Une « planche » serait donc isométrique, dans un repère orthonormal, à { (x;y)| 0<x<1 et y<0}et elle aurait deux extrémités : (0;0) et (0;1), à une isométrie près.
Je dois avouer que ce n'est pas l'image que j'ai d'une planche : pour moi c'est un rectangle qui a quatre « extrémités ».
Mais je vais essayer de voir ce que l'on peut faire avec tes « planches » en supposant, comme le suggère le dessin, que le côté non borné est forcément vers le "bas".
Derny: non, ce n'est pas ça...
Verdurin: On ne voit que la coupe des blanches en 2d, prend des bâtons ou des allumettes si tu préfères. La partie en bleue ne fait pas partie des planches, c'est l'aire recouverte par les planches, et que l'on cherche à maximiser
tout le pb est la confusion entre sol et plan
le sol pour les planches est la demi-droite [Ox) du plan ...
on a donc une vue d profil du sol + mur et l'air ambiant est le plan que l'on veut "paver" ...
et les planches sont donc aussi vues de profil !!
en fait je pense qu'il manque une info : l'angle entre deux planches n'est pas plat ...
parce que sinon on recouvre tout le plan comme avec des tuiles sur un toit ...
Je ne comprend pas ta remarque, les planches doivent être placées une par une, et avec les deux extrémités en contact avec le sol, le mur ou d'anciennes planches. Comment places-tu la première planche de ton toit, puis les suivantes?
comme sur mon graphique ... après je rajoute àplat les palanches pour aller à l'infini sur le sol ...
puis après j'en rajoute par dessus et par dessus ... et par dessus ...
et donc j'aurai une bande de 1m de haut (= la hauteur du mur) et de longueur infinie ...
On devrait pouvoir couvrir tout le (quart de ) plan.
En effet, par contradiction considérons la courbe limite de la partie recouverte.
Cette courbe joint l'axe x à l'axe y. Elle a donc au moins une partie concave. Or sur cette partie concave je peux poser une planche de moins 1m tel que les deux extrémités soient sur la courbe et le milieu de la planche soit à droite de la courbe. La courbe n'est donc pas la limite.
On peut remarquer que par construction cette courbe limite n'a que des parties plates ou concaves. On peut donc toujours poser une planche de 1m.
Par exemple avec la courbe limite y = 1/x, je peux poser une planche avec les extrémités en (1,1) et (0.53, 1.88) qui sera plus à droite que cette courbe.
Donc avec une infinité de planches je peux couvrir le (quart de) plan.
Bonjour,
Sans le dessin difficile d'imaginer l'exercice.
Avec le dessin on extrapole une hyperbole y=1/4x
le sommet passant par (0.5 ,0.5) .Leibniz trouvera l'aire...
Bravo LittleFox
Pour être plus rigoureux, il faudrait montrer qu'il n'existe pas de point fixe. (Grace au mur et au sol, il y toujours une partie strictement concave. Le strict est important car la courbe pourrait converger vers un droite)
De plus, il faut montrer dire que la fonction qui a une courbe et une position de planche associe la nouvelle courbe est continue. Si la courbe converge, elle ne peut le faire que vers un point fixe, et il n'y en a pas.
Le seul moyen pour la courbe de ne pas avancer est d'être une droite. Mais toutes les droites intersectent l'axe x ou l'axe y avec un angle non nul (ou plat).
je ne suis pas tout à fait d'accord avec LittleFox car d'un côté le mur a 1 m de haut !!!
sur le sol je suis d'accord on peut aller à l'infini ..
mais du côté du mur : l'extrémités d'une planche peut poser sur celles qui sont plus basses ok ... mais l'extrémité du haut repose sur quoi ?
ha ben si en plus le mur est de hauteur infinie !!! (même si tu as raison la hauteur n'est pas précisée et je l'ai égalée à celles des planches ... va savoir pourquoi) et c'est pour ça que j'avais proposé une bande de 1 m de haut ...
sinon j'aurai évidemment dit comme LittleFox ... et comme je l'aurais dit avant lui j'aurais gagné !!!!
où l'on voit que le contexte a posé beaucoup de pb à la compréhension de l'énoncé ...
je serai plutôt parti du quart de plan et de segments de longueur 1 avec la condition :
les extrémités reposent (appartiennent même) soit au demi-axes soit aux segments précédents
Cet exercice doit arriver au bout...
Il devrait plaire à mathafou
Faisons un montage symétrique en plaçant la première planche à 45°,
puis les suivantes selon le dessin.
On peut mesurer les points de contact successifs avec le mur:
par exemple OA (en bleu)=( 
2+14)/4=1.289
On peut continuer à placer une planche de 1 m (pointillés) au moins 6 fois.
Ensuite,il faudra passer à 2 planches...
je pense qu'on recouvre le (quart de) plan d'une infinité de façons ...
après on peut éventuellement minimiser le nombre de planches ...
mais enfin si on a utilisé planches .. on n'en est plus à une planches de plus !!!
Bonsoir
dpi a montré concrètement une des façons d'empiler les planches. Bien sûr qu'on peut toujours rajouter une surface à celles en place mais les surfaces rajoutées sont de plus en plus petites et tendent vers zéro. C'est pour ça que je trouve ma proposition de 1/x possible.
Ce problème est assez contre-intuitif car l'aire sous les planches diverge très lentement. Cependant, la suite dépend seulement de l'état des planches juste avant, et pas du nombre de planches déjà placée. la suite ne peut donc converger que vers un point fixe.
Comme LittleFox l'a montré, le seul point fixe possible serait de converger vers une droite, ce qui n'est pas possible à cause du mur et du sol.
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