Salut,

par combinaison linéaire, pour tout polynôme P de R[X], tu as l'intégrale de a à b de qui vaut 0. Comme f est , tu peux utiliser le théorème de Weierstrass à une fonction en particulier, vois-tu laquelle ?

Ce n'est pas "par combinaison linéaire" mais plus "par linéarité de l'intégrale" qu'il faudrait d'ailleurs dire.

salut

l'application est un produit scalaire sur l'ensemble de fonctions continues sur l'intervalle [a, b]

or est orthogonal à tout polynome

et l'ensemble des polynomes est dense dans l'ensemble des fonctions continues (théorème de Stone-Weierstrass)

donc ....

Flewer, non je ne vois pas quelle fonction choisir .... :/


Carpediem,
L'ensemble des polynomes est dense dans les fonctions continues donc chaque polynome est la limite d'une suite de f.
Est ce qu'on peut dire que c'est suite de f est anxn+an-1xn-1 where a0 is a constant? e façon à créer un polynome f(x) = a_nxⁿ+...a₁.x+a₀ ?

on en déduit que est orthogonal à toute fonction continue donc est nulle ...

Ah d'accord. Malheureusement je n'ai pas vu encore cette notion d'ortogonalite d'une fonction

Bonjour usstudent.

Simplement, tu considère une suite de polynômes qui converge uniformément vers sur [a,b].

Tu écris ensuite :

Et maintenant, que peux-tu dire du terme en rouge ? Qu'en déduis-tu pour le terme en bleu ? Et donc, de f ?

Comment sais-tu que :  (\forall n \in \N)\left(\int_{a}^{b}{P_n.f^{(k)}} = 0\right) ?

Sinon, la partie en rouge est inférieur ou égale à un epsilon positif (donc presque égal à 0) puisque Pn converge uniformément vers f sur [a,b].
Du coup, la partie en bleue est égale à 0 aussi. En multipliant le tout par racine carré, on déduit que l'intégrale de a à b de f(^k) (x) dx est aussi égal à 0.  Donc f traverse l'axe des abscisses au moins une fois i.e. l'équation f^(k)(x)=0 a au moins une solution, disons x0. Donc on peut factoriser f(k) où l'un des facteurs est (x-x0). Ce qui fait de f^(k) un polynôme?

c'est quoi ce charabia ...

P_n converge uniformément vers f^(k) donc l'intégrale rouge tend vers 0

le terme bleu est l'intégrale d'une fonction continue et positive donc ...

donc f est nulle..
Mais je ne peux pas en conclure que f est un polynome

Réfléchis un peu et relis ce qu'on a fait voyons ! Ce n'est pas f qui est nulle...

Au passage, si f est nulle, c'est évidemment un polynôme...

Oups, pardonnez svp mon manque de rigueur.

Je voulais dire que f^(k) est nulle. Ce que veut dire que f^(k-1) est une constante non nulle, f^(k-2) est de degré 1, f^(k-3) de degré 2 et ainsi de suite jusqu'à f^(k-(k-1))=f qui est de degré k-2. F est donc un polynome.

Peut-on dire que f est k fois dérivable si f est la fonction nulle? (je n'ai pas trouvé d'informations qui l'affirme sur internet)

Si on peut dire que f(k) est k fois dérivable alors que f est nulle, ne tenez pas compte de mon raisonnement plus haut svp

Merci pour vos indications

Attention, en intégrant, il se peut que tu trouves des constantes nulles ! Exemple : tu prends le polynôme nul pour f.
f est de degré inférieur ou égal à k-1 (et non k-2), problème d'indice dans tes dérivées.

Penses-tu que la fonction nulle soit dérivable ?

Ah effectivement !

f(k) est nulle
Ce que veut dire que f(k-1) est une constante, de degré 0, f(k-2) est au maximum de degré 1, f(k-3) au maximum de degré 2 et ainsi de suite jusqu'à f(k-(k-1))=f qui est de degré k-1. F est donc un polynome.


Je pense que ça n'a pas de sens de dérivées la fonction nulle puisqu'elle est constante et ne change pas de signe.

Cela vous semble t'il correct?

Oui, c'est bon ...
Sur un intervalle toutes les primitives de la la fonction nulle sont polynomiales.
Donc si , cela signifie que est un polynôme, et son degré est au plus .

Super ! Merci pour votre aide !

Je t'en prie.
Mais tu n'oublieras pas qu'un point important dans cet exos, ce n'est pas tant de savoir quelles sont les primitives de la fonction nulle (ça on sais faire depuis la terminale, enfin ... normalement !), mais d'utiliser TOUTES les hypothèses, même les plus ridicules en apparence, et notamment, pour conclure le devoir que tu dois rendre, tu est es obligé de bien noter que l'on travaille sur un intervalle. Sinon, le résultat ne vaut pas ! ... et j'insiste lourdement ...

Bonjour

Efficace la décomposition en rouge et bleu.

Ouais, avec le fond blanc du site, ça fait très français ...

L'efficacité dont je parlais n'était pas de type graphique, mais "démonstrationnel".

J'avais compris, mais comme je suis quelqu'un de trèèèèès modeste ...