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position d une courbe par rapport a sa tangeante
1)Soit f la fonction carre de P la parabole la representant
a)Calculer f'(a). Déterminer sous la formr y=mx+p une equation de la droite
D tangentea P au point d abscisse a.
b)Montrer que tous les points de P sont au dessus de D c est a dire que la
difference f(x)-(mx+p) est toujours positive.
2)Soit g la fonction racine carree et C sa courbe representative.
a)Calculerg'(a).Determiner sous la forme y=mx+p l equation de la droite delta, tangenta a C
au point d abscisse a
b)
MOntrer que tous les points deC sont au dessus de delta
3) Soit la fonction h definit sur r par h=x(cube)-2x +1 et S sa courbe
representative
a) Quelle conjecture peut on faire concernant leurs position relatives
? Prouver la resultat
b)Determiner une equation de la tengente (T) a S au point d abscisse a . montrer
que si a est positif tous les points de S d abscisse positive sont
au dessus de (T) et que si a est negatif tous les points S d abscisse
negative sont au dessous de (T)
1)a) f(x)=x² donc f'(x)=2x donc f'(a)=2a
on applique la formule de la tangente en a (qui se retrouve facilement)
:
y=f'(a)(x-a) + f(a)
= 2a(x-a)+a² = 2ax-a² -- > m=2a et p=a²
b) on calcule la différence donc on obtient
x²-(2ax-a²) = x²-2ax+a² = (x-a)² >0 (car c'est un carré!!!) (le monde est
bien fait tout de m^me!!)
2) g(x)=Vx (on se comprend)
donc g'(a) = 1/(2Va)
de même que précedemment on obtient :
y=1/(2Va) * x+Va/2
y-Vx = (1/(2Va))x+Va/2 -Vx C'est la merde donc on pose X=Vx et alors
X²=x
on obtient l'équation : X²/2Va - X + Va/2
On remarque que le delta est toujours nul donc c'est du signe de
1/(2Va) donc positif!!!
Donc la tangente est au dessus de la courbe.
ou si tu ne veux pas faire le changement de variable (il faudrait justifier
que tu es vraiment le droit), tu peux mettre 1/(2Va) en facteur et
donc obtenir un carré : 1/(2Va) * (Vx -Va)² qui est positif!
3) a) les positions relatives de quoi???
b)
Tu refais exactement les même calculs, et tu fais la difference comme
d'hab :
x^3 (correspond à x au cube)
x^3-3a²x+2a^3 (sauf erreurs de calculs..)
= (x-a)²(x+2a)
donc est du signe de x+2a
c'est à dire : pour x>-2a la courbe est au dessus
et pour x<-2a elle est en dessous!!
la position relative de la tangente et de la courbe dépend donc bien
du signe de a.
cqfd!
BONNE CHANCE!!
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