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position de courbe

Posté par benJ (invité) 28-03-05 à 10:05

bonjour tout le monde ! alors voilà en math je suis un peu pomé en ce moment ! donc si vous pouvez m'aider ce serait gentil ! merci d'avance

alors : Pour tout réel strictement positif k, on considère les fonctions fk et gk définies sur par :  
   fk(x)=e-kx et gk(x)=e-kx[sup]2[/sup]

On note respectivement Ck et k les courbes représentant ces fonctions fk et gk dans un repère orthonormal.

1. Dresser les tableaux de variation des fonctions fket gk.

2. a) Tracer dans un même repère, d'unité graphique 6cm, les courbes C1, C2, C3, 1, 2, 3.

   b) Préciser la position relative des courbes Ck et k, pour tout réel strictement positif k.

3. Soit k et k' deux réels tels que 0<k<k'. Etudier la position relative des courbes Ck et Ck' ; puis celle des courbes k et k' et enfin celle des courbes Ck et k'.

Voilà, merci beaucoup de votre aide, voir plus

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 11:41

svp aidez moi !

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 12:56

personne ne peut m'aider ?

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 13:46

vraiment j'ai besoin d'aide je capte rien de chez rien !

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 13:50

slt

en fait cela depend du signe de k :

3$f_k(x)=e^{-k\times x}
donc
3$f^'_k(x)=-k\times e^{-k\times x}

comme 3$e^{-k\times x}>0
2$\textrm \underline{f^' est du signe de -k}

3$\textrm \fbox{\red si k>0}

alors
3$-k<0
donc 2$\textrm \underline{f^' est negative et f strictement decroissante}

3$\.\array{rcl$\lim_{x\to +\infty} -k\times x=-\infty(\textrm car k>0)\\\lim_{X\to -\infty} e^X=0}\}

3$\.\array{rcl$\lim_{x\to -\infty} -k\times x=+\infty(\textrm car k>0)\\\lim_{X\to +\infty} e^X=+\infty}\}

on a donc :
4$\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&&&&&+\infty\\{f^'}&&&&-&&&\\{f}&&&&\searrow&&&&\\\end{tabular}

essaye de faire de meme pour les autres cas

@+

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 13:55

fo ke je le fasse avec k<0 et k=0 donc !?! et je dois faire de même avec g ?!?

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 13:57

exactement !!

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 14:05

pour une petite aide prend des exemples :

prenons k=1 on a donc :
3$f_k(x)=e^{-1\times x}=e^{-x}
et la courbe est la suivante :


position de courbe

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 14:05

prenons k=-1 on a donc :
3$f_k(x)=e^{-(-1)\times x}=e^{x}
et la courbe est la suivante :



position de courbe

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 14:05

prenons k=0 on a donc :
3$f_k(x)=e^{-0\times x}=e^{0}=1
et la courbe est la suivante :


position de courbe

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 14:06

comprend tu ??

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 14:14

eee oui en partie !! cela est pour l'étude de cas quand k>0 k<0 et k=0 . ds la fonction f ! ca me fait donc 3 tableau de variation par fonction donc 6 à la fin de ma première question

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 14:17

en reprenant ton première raisonnement, il faut en faite inverser ?

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 14:19

tu peux me montrer pour k=0 stp ? merci

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 14:25

et pour la suite aussi ! ba sa me saoule je capte rien ! bon allé on se concentre !...

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 15:23

que n'arrive tu pa a faire ??

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 15:23

précise moi si tu ve que je t'aide ...

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 15:35

en faite il faut que k soit positif toujours, donc cela ne sert a rien de faire les trois cas ! mais si tu pouvais voir pour l'étude car il faut faire les limites en fonctions de x et je comprends pas ta démonstration

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 16:07

svp aidez moi sa devient urgent !

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 16:09

on te demande de "Dresser les tableaux de variation des fonctions  fk et gk"

je fais pour fk seuleument et tu fera pareil pour gk:

la fonction a étudier est 4$f_k(x)=e^{-k\times x}

dérivons pour avoir le signe de f' est ainsi le sens de variation de f

on a : 4$\fbox{\red(e^U)^'=U'\times e^U}

avec ici 4$\red U(x)=-k\times x
donc 4$\red U^'(x)=-k
et donc 4$\fbox{(f_k)^'(x)=-k\times e^{-k\times x}}

il nous faut maintenant le signe de f'

on sait que pout tout 4$x\in\mathbb{R}, 4$e^X>0

donc  4$e^{-k\times x}>0 et donc f' est du signe de -k


maintenant tu vient de me dire que "en faite il faut que k soit positif toujours"

donc 4$k>0 donc 4$-k<0 donc 3$\textrm \underline{f' est negative donc f strictement decroissante}

il nous faut maintenant etudier les limites connaissant le sens de variation de f

on cherche donc les limites de 4$f_k(x)=e^{-k\times x} qui est définie pour tout 4$x\in\mathbb{R}
c a d les limites au bornes de l'ensemble de définition autrement dit en 3$-\infty et en 3$+\infty

en 3$\fbox{-\infty}
3$\lim_{x\to -\infty} (-k\times x)=-\infty car k positif (cela revient a etudier la limite d'une fonction linéaire de type 3$f(x)=-ax)

et
en faisant un changement de variable : on pose 4$X=-k\times x sachant que 3$\lim_{x\to -\infty} (X)=-\infty on déduit par composée que 3$\lim_{X\to -\infty} (e^X)=0 donc que 3$\lim_{x\to -\infty} e^{-k\times x}=0


essaye de faire de meme en en 3$\fbox{+\infty}

+


Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 16:30

pour g, c'est exactement la même chose !

et en + on trouve +

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 16:32

a non g elle es croissante puis a 0 devient décroissante

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 16:45

pr g attention :

4$g_k(x)=e^{-k.x^2}
donc
4$g^'_k(x)=-2k.e^{-k.x^2}

comme 4$e^{-k.x^2}>0 g' est du signe de -2k :

c a d :
3$\textrm sur ]-\infty;0[ g' positive
3$\textrm sur ]0;+\infty[ g' negative
et 3$\textrm si k=0 alors g' s'annule

on a donc :
4$\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&0&&+\infty\\{g'}&&+&0&&-&\\{g}&&\nearrow&&&\searrow&&\\\end{tabular}

regarde le graphe :


position de courbe

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 16:55

oui c'est ce ke j'ai aussi trouvé ! maintenant si tu veux bien on pourrait passer à la 2b ! merci car tes explications sont clair ! et tu as l'émulateur de TI

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 17:13

re

voila les courbes bon c un pe le melange mais si tu a bien compris ...

position de courbe

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 17:13

re

voila les courbes bon c un pe le melange mais si tu a bien compris ...

position de courbe

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 17:14

les courbes c bon

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 17:17

je pense que la position des courbes est assez explicite sur celle ci !!

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 17:23

il fo dire si elle est au dessus ou au dessous de la fonction !?!

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 17:26

exact

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 17:29

et sa je le dis comment ? grace a la représentation graphique ou autrement ? moi et la rédaction ...

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 17:32

pour etudier la position relative de deux courbes on etudie la différence

explication:

on pose 4$\alpha(x)=f_k(x)-g_k(x)
et on étudie ces variations ...

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 17:35

on a donc :
3$\alpha(x)=e^{-k.x}-e^{-k.x^2}

3$\alpha^'(x)=-k.e^{-k.x}-(-2k).e^{-k.x^2}
i.e.
3$\alpha^'(x)=-k.e^{-k.x}+2k.e^{-k.x^2}


(...) etc

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 17:53

e oui je comprends pas vraiment là !

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 18:25

je veudrais pas abuser car tu m'as déjà vraiment énrmément aidé, mais si tu peux m'aider un peu plus, ce n'est pas de refus !

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 19:17

est que k>0 pour tout l'exercice ???

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 19:26

b) Préciser la position relative des courbes Ck et k, pour tout réel strictement positif k.

3. Soit k et k' deux réels tels que 0<k<k'. Etudier la position relative des courbes Ck et Ck' ; puis celle des courbes k et k' et enfin celle des courbes Ck et k'.

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 19:36

bon on continue la ou je me suis arreté :

3$\alpha'(x)=-k.e^{-k.x}+2kx.e^{-k.x^2}

si k>0 :

3$e^{-k.x^2}>0
i.e.
3$k.e^{-k.x^2}>0
i.e.
3$2k.e^{-k.x}>0

donc f' est du signe de 3$-k.e^{-k.x}

on sait deja que :
e^{-k.x}>0
i.e.
k.e^{-k.x}>0
i.e.
-k.e^{-k.x}<0

donc 2$\textrm \underline{\alpha' negative} et \underline{\alpha stricement decroissante:}

on a donc le sens de variation :
4$\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&&&+\infty\\{\alpha'}&&&&-&&&\\{\alpha}&&&&\searrow&&&&\\\end{tabular}

on cherche alors les limites :
1)
3$\.\array{rcl$\lim_{x\to -\infty} (-k.x)=+\infty\\\lim_{X\to +\infty} (e^X)=+\infty}\}\textrm par compose \lim_{x\to -\infty}(e^{-k.x})=+\infty

3$\.\array{rcl$\lim_{x\to -\infty} (-k.x^2)=-\infty\\\lim_{X\to -\infty} (e^X)=0}\}\textrm par compose \lim_{x\to -\infty}(e^{-k.x^2})=0

Donc
3$\.\array{rcl$\lim_{x\to -\infty}(e^{-k.x})=+\infty\\\lim_{x\to -\infty}(e^{-k.x^2})=0}\}\textrm par addition \fbox{\lim_{x\to -\infty}(\alph(x))=+\infty}

de meme :
2)
3$\.\array{rcl$\lim_{x\to +\infty} (-k.x)=-\infty\\\lim_{X\to -\infty} (e^X)=0}\}\textrm par compose \lim_{x\to +\infty}(e^{-k.x})=0

3$\.\array{rcl$\lim_{x\to +\infty} (-k.x^2)=-\infty\\\lim_{X\to -\infty} (e^X)=0}\}\textrm par compose \lim_{x\to +\infty}(e^{-k.x^2})=0

Donc
3$\.\array{rcl$\lim_{x\to +\infty}(e^{-k.x})=0\\\lim_{x\to +\infty}(e^{-k.x^2})=0}\}\textrm par addition \fbox{\lim_{x\to +\infty}(\alph(x))=0}

place alors ces valeurs ds ton tableau de variation :

on déduit que pout tout 3$x\in\mathbb{R},

3$\alph(x)\ge0
i.e.
3$f_k(x)-g_k(x)\ge0
i.e.
3$\fbox{\red f_k(x)\ge g_k(x)}

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 19:42

tu peux me dire ce que i.e signifie !! merci

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 19:44

i.e. >>> c pour introduire une equivalence

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 19:48

et la avec ce raisonnement cela signifie que la courbe Ck>k !!

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 19:49

d'ailleurs je me rend compte ke je fé pe etre une erreur mais ou je voi pa car avec mon raisonement fk > gk pourtant sur les courbes on voi bien ke ca depend de l'intervalle considéré

:?

laisse moi reflechir ...

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 19:57

ok moi je nage plus ou moins la !

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 20:09

fodrais pas faire en décomposant


x<0

x=0

0<x<1

x=1

x>1

??

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 20:12

en faite je me suis trompé a la dérivé ca va etre plus ou moins long a re rédiger atten 2 sec

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 20:27

e ok merci

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 20:45

si tu te sens la force de faire la 3 aussi je t'en pris car jpige que dalle !!

Posté par
H_aldnoerre : position de courbe 28-03-05 à 20:52

en faite en y reflechissant tout mon raisonement est bon mais seule ma conclusion est fausse comme koi :

on a démontré que :
3$\lim_{x\to -\infty} (\alph(x))=+\infty
et on a :
3$(\alph(0))=f_k(0)-g_k(0)=e^{-k.0}-e^{-k.0^2}=e^0-e^0=1-1=0

donc sur l'intervalle 4$]-\infty;0],
3$\alph(x)\ge0
i.e.
3$f_k(x)-g_k(x)\ge0
i.e.
3$f_k(x)\ge g_k(x)


d'autre part on a :
3$(\alph(0))=f_k(0)-g_k(0)=e^{-k.0}-e^{-k.0^2}=e^0-e^0=1-1=0
et
4$\lim_{x\to +\infty} (\alph(x))=0

donc sur l'intervalle 4$]0;+\infty],
3$\alph(x)\le0
i.e.
3$f_k(x)-g_k(x)\le0
i.e.
3$f_k(x)\le g_k(x)

vois tu la nuance !!

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 20:59

ok mais tu n'aurais pas vraiment fait une erreur dans la dérivée de g ??
ce ne serait pas plutôt g'= 2kxe.. au lieu de 2ke... ?

au debut

Posté par benJ (invité)re : position de courbe 28-03-05 à 21:03

aussi dc pour la question 2b cela veut dire que sur l'intervalle ]-;0[ la courbe Ck est au dessus de la courbe k et sur ]0;+[ la courbe Ck est en dessous de k !?!?

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