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Position relative asymptote/ Courbe de f.

Posté par
matheux14 21-05-22 à 17:09

Bonjour,

Déterminer la position relative de la courbe (Cf) et son asymptote en + \infty. f(x) = \sqrt{x^2 +1} + \sqrt{x^2 -1}

* Posons A = \sqrt{x^2 +1} = x\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}= x\left(1+ \dfrac{1}{2x^2}  + o \left(\dfrac{1}{x^2}\right)\right) = x + \dfrac{1}{2x}  + o \left(\dfrac{1}{x}\right)

* \forall x \in \R \setminus ]-1 ; 1[ ~~ B = \sqrt{x^2 +1} = x - \dfrac{1}{2x}  + o \left(\dfrac{1}{x}\right)

f(x) = 2x + o \left(\dfrac{1}{x}\right)

L'asymptote a pour équation y = 2x

Soit g(x) = f(x) -2x ~;~ \forall x \in \R \setminus ]-1 ; 1[

g ne s'annule pas sur \R \setminus ]-1 ; 1[

* g'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x²+1}} + \dfrac{x}{\sqrt{x²-1}} -2

Ne s'annule pas non plus.

Posté par AitOuglifre : Position relative asymptote/ Courbe de f. 21-05-22 à 17:29

Bonjour
Pas besoin de dériver, pousse ton DL un peu plus loin…(ordre 3).

Posté par
matheux14re : Position relative asymptote/ Courbe de f. 21-05-22 à 17:59

Mais cela revient au même

Posté par
carpediemre : Position relative asymptote/ Courbe de f. 21-05-22 à 19:03

salut

ben non ... la dérivée n'a rien à voir avec la position relative d'une courbe et son asymptote ...

encore une fois ne vois-tu pas que le terme d'ordre 1 de ton dl est nul et que le reste d'ordre 1 ne permet donc pas d'avoir le signe de f(x) - 2x ...

Posté par
carpediemre : Position relative asymptote/ Courbe de f. 21-05-22 à 19:06

et que donc il faut pousser plus loin le dl ...

on peut remarquer que :

f(x) - 2 x = \sqrt {x^2 + 1} - x + \sqrt {x^2 - 1} - x = \dfrac 1 {\sqrt {x^2 + 1} + x} - \dfrac 1 {\sqrt{x^2 - 1} + x}

ce qui permet de conclure ...


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