Salut à tous alors je poste cela dans lycée et dans supérieur car comme j'ai quitté le systeme francais depuis 2 ans et que je suis en suisse je ne sais pas. Bref voila mon probleme.

Je dois mathématiquement reconnaitre la position relative (gauche parallele secante confondu) de deux droites dans L'ESPACE, grâce à leurs équations (vectorielles ou cartésiennes) je sais le faire avec 2 plans: on rentre les 2 équations dans la calculette qui résolvent le systeme, et si c'est faux c'est parallele, indéeterminé confondu et avec une solution sécant. ça c ok ! Par contre si il ya 2 droites, c plus dur, ok si l'est 2 droites sont de forme vectorielles on peut comparer les 2 vecteurs directionnels mais si elles sont sous la formes (les 2 droites) cartésienne : exemple :

   (a)                                          (b)
                    
[x+y=4                                    [x+3y+z=9
[3y+z=5                et                 [x-y-z=1


je rentres ces 2 equations dans la machine magique (calculette voyager 200) si cela m'avais donné une solution indéfini elles (les droites) auraient été confondues, si cette calculette m'avait donné une solution les droites auraient été sécantes, mais quand le systeme est faux, comment savoir si ces droites sont paralleles ou gauches

TELLE EST LA QUESTION

merci à tous et bonne chance

et dsl si jvous ai filé le mal de crane



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Si tu tiens à faire tout par la calculatrice, donne lui le même système en remplaçant tous les seconds membres par des 0. Si la seule solution est 0, c'est que tes droites étaient gauches, si il y a une infinité de solution, c'est que tes droites étaient parallèles.

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Bonsoir thefrenchyguy;
et
Tu prends un vecteur directeur de chaque droite qui est le produit vectoriel des vecteurs normaux aux plans définissant la droite,je m'explique:
est l'intersection des deux plans et un vecteur normal à est et un vecteur normal à est un vecteur directeur de est donc en faisant de mm pour tu obtiens un vecteur directeur de soit et vu que et sont linéairement indépendants on a deux possibilités:
(*) et sont sécantes.
(*) et sont non coplanaires (gauches)
pour trancher tu prends un point de soit (obtenu en faisant dans l'équation de ) et un point de soit (obtenu en faisant dans l'équation de ) et tu calcules
si ce determinant est nul, et sont sécantes.Sinon,elles sont gauches.

Sauf erreurs bien entendu

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up

salut alors déja 1-merci pour avoir répondu si vite je n'ai pas consulté les réponses parceque je ne m'imaginais pas avoir des réponses avant demain
en revanche 2-elhor_abdelali j'adore la présentation de ta réponse mais alors serieux comment tu as placé le systeme et le vecteur wow, par contre le résultat '(dsl de pas l'avoir doné plutot) est que les 2 droites données sont paralleles, le tout est de savoir PK ??? lol

et  Babou14 je n'ai pas compris ta technique peux tu me la réexpliquer stp ?

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salut alors déja 1-merci pour avoir répondu si vite je n'ai pas consulté les réponses parceque je ne m'imaginais pas avoir des réponses avant demain
en revanche 2-elhor_abdelali j'adore la présentation de ta réponse mais alors serieux comment tu as placé le systeme et le vecteur wow, par contre le résultat '(dsl de pas l'avoir doné plutot) est que les 2 droites données sont paralleles, le tout est de savoir PK ??? lol

et  Babou14 je n'ai pas compris ta technique peux tu me la réexpliquer stp ?

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Par addition et soustraction, les équations de la droite b peuvent aussi s'écrire
x+y=5 et 2y+z=4
Les deux droites sont situées dans deux plans parallèles (x+y=4 et x+y=5): elles ne peuvent donc être ni sécantes ni confondues.
Par ailleurs leurs vecteurs directeurs sont respectivement (1,-1, 3) et (1, -1, 2) qui ne sont pas parallèles: ELLES NE PEUVENT DONC PAS ETRE PARALLÈLES

Pour obtenir des droites parallèles en modifiant un minimum de données, il faudrait que les équation de a soient x+y=4 et 2y+z=5, les équations de b restant inchangées. N'est-ce pas là le bon énoncé?

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Ma solution est simple: tu considères les droites vectorielles directrices de tes droites affines. Leurs équations sont données par les mêmes que les droites affines, sans les seconds membres. La droite vectorielle directrice d'une droite affine est en particulier parallèle à celle-ci, donc si tes droites affines étaient parallèles, les droites vectorielles seront parallèles et comme elles passent par 0 elle seront égales. Si tes droites affines étaient gauches, tes droites vectorielles ne seront pas parallèles donc elles seront sécantes puisqu'elles passent par 0.

ça te donne une solution complétement à la calculatrice, ça évite toute manipulation!

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Une manière parmi d'autres:

Le système

x+y=4                                    
3y+z=5                
x+3y+z=9
x-y-z=1

n'a pas de solutions --> les droites ne sont pas sécantes.

--> Elles sont soit // soit gauches.
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On cherche alors 2 points quelconques de chaque droite et on en déduit leurs vecteurs directeurs unitaires:

droite (a):
P(0 ; 4 ; -7)
Q(4 ; 0 ; 5)
--> un vecteur directeur est va = (4 ; -4 ; 12)
|va| = racine(4²+4²+12²) = racine(176)
---> vecteur dircecteur unitaire = Va = (4/V176 ; -4/V176 ; 12/V176)

droite (b)
R(0 ; 5 ; -6)
S(5 ; 0 ; 4)
--> un vecteur directeur est vb = (5 ; -5 ; 10)
|vb| = racine(5²+5²+10²) = racine(150)
---> vecteur dircecteur unitaire = Vb = (5/V150 ; -5/V150 ; 10/V150)

Si les droites étaient //, on aurait Va = Vb

Comme Va est différent de Vb (et comme les droites ne sont pas concourantes), les droites sont gauches.
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Sauf distraction.