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Niveau terminale
(Possiblement) Le Théorème des valeurs intermédiaires (?)
Posté par Awram2000
Bonjour, j?espère que vous allez bien !
Je souhaite avoir quelques éclaircissements / de l?aide sur un exercice sur lequel je bloque énormément.
L?énoncé :
Soit f une fonction continue sur [0,1] telle que : (
x 
[0,1] f(x)
0) et f(0)=f(1)=0.
Montrer que : (n
*) ( 
c [0,1]) (f(c)= f(c + 1/n)).
Alors je pense qu?on devrait utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, mais je n?en suis pas sûre : je ne sais pas si c?est possible de démontrer que f(x) est strictement monotone sur l?intervalle, et que f(c + 1/n est compris entre f(0) et f(1) alors que ces deux valeurs sont égales à 0, ou si je dois simplement montrer que f(c +1/n)=0 donc f(c)=0).
Merci d?avance pour votre aide <3
* malou > , merci de mettre à jour ton profil 
*et d'utiliser la barre sous message avec 
pour écrire sur notre site, car ton copier-coller ne tient pas à l'édition *
Bonjour, non tu n'y es pas, comment veux tu que f(x) soit monotone alors que f(0)=f(1)=0 et qu'elle reste négative. Fais un dessin, la fonction est forcée de descendre après 0 puis de remonter pour que f(1)=0 et elle peut faire n'importe quoi entre 0 et 1 donc elle ne peut pas être monotone et elle ne peut pas couper l'axe ox non plus donc ton f(c)=0 est aberrant.
Mais j'ai un doute sur ton énoncé, j'ai pris une fonction f(x) répondant aux critères :
f(x) = x²-x et j'ai cherché un c tel que f(c)= f(c + 1/n) mais en résolvant l'équation, je n'en ai pas trouvé qui soit entre 0 et 1 
.
Sinon pour info, la méthode habituelle pour ce genre d'exercice c'est de poser g(x) = f(x)-f(x+1/n) , de trouver le signe de f(0) puis de regarder une valeur qui donnerait à g(x) une valeur de signe opposé, puis appliquer le théorème des valeurs intermédiaire. Mais ici, du fait de mon contre exemple, je ne vois pas bien comment utiliser la méthode.
vérifie ton énoncé, on ne parle pas de dérivée par exemple ?
Bonjour Awram2000.
Tu peux déjà remarquer que, par hypothèse, c'est vrai pour n = 1.
Sinon, avez-vous vu un théorème qui dit que si une fonction est continue sur [0,1] alors elle atteint son maximum et son minimum sur [0,1] ?
Citation :
Mais j'ai un doute sur ton énoncé, j'ai pris une fonction f(x) répondant aux critères :
f(x) = x²-x et j'ai cherché un c tel que f(c)= f(c + 1/n) mais en résolvant l'équation, je n'en ai pas trouvé qui soit entre 0 et 1 .
Mais j'ai un doute sur ton énoncé, j'ai pris une fonction f(x) répondant aux critères :
f(x) = x²-x et j'ai cherché un c tel que f(c)= f(c + 1/n) mais en résolvant l'équation, je n'en ai pas trouvé qui soit entre 0 et 1
.La courbe est symétrique par rapport à la droite x = 1/2
Donc
Les hypothèses de l'énoncé sont bonnes.
ha oui d'accord, j'avais fait une erreur de calcul. mon contre exemple ne va pas. merci jsvdb.
oublie mon post alors, Awram2000, désolé 
.
jsvdb, oui on l'a vu haha, comment je pourrais l'utiliser ?
Et pour Glapion merci pour tes corrections sur la notion des fonctions monotones 😭
On pourrait l'exploiter, mais l'idée de Glapion est plus simple.
Soit avec
g est continue sur .
Quels sont les signes de g(0) et g(1-1/n) ? Conclusion !
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NB : on pourrait refaire le même exercice et poser pour tout
et tout
salut
posons et on reconnait un taux de variation ...
on peut remarquer que
on cherche donc deux points A et B de la courbe de f tels que :
la droite (AB) est horizontale
la différence des abscisses des points B et A est
le taux de variation n'est peut-être pas continu mais on vérifie que h(0) < 0 et h(1 - 1/n) > 0 (d'après les hypothèses sur f ...
et si ce taux de variation h est continu alors le TVI peut s'appliquer
Bonjour, je viens de revoir ce sujet et de voir ton message. Désolée pour la réponse Tardive, merci pour ton aide !