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Postez, postez : question d enveloppe

Posté par philoux (invité) 28-06-05 à 13:18

Bonjour,

Peu d'activité sur l'...

Je vous propose ce p'tit problème sur lequel je bute.
Il est la complexification d'un post laissé ces jours derniers.

Je l'ai désenfoui et, comme il n'avait pas de lien direct avec le post initial, j'en ai créé celui-ci.

Tout est en image, énoncé et question.

Je vous poste, dans la foulée, ce à quoi je suis arrivé mais les bases mathématiques me sont défaillantes pour aller plus loin.

Merci à l'avance.

Philoux

Postez, postez : question d enveloppe :lol:

Posté par philoux (invité)re : Postez, postez : question d enveloppe 28-06-05 à 13:31

Bonjour

Voici les élucubrations :

Je pose A(-d,0) B(d,0) et H(0,-h) centre du cercle passant par A et B.
Ce cercle a pour rayon R tq h²+d²=R²

On a alors la trajectoire AB comme x² + (y+h)² = R² = h²+d² avec x € [-d;d].

Je m'intéresse à l'arc dans le 1° quadrant
En posant t angle HO,HM, j'ai :
x = Rsint et y = Rcost - h
avec t variant de 0 à arctg(d/h)

le cercle réalisé en M a pour eq. (x-xM)²+(y-yM)²=yM²

Je me dis, après, qu'il faut déterminer le y max pour un x donné
exprimer ce yM en fonction de t
et avoir une eq paramétrique de yMax(t) et x(t)

Eventuellement, pour faire plus propre, pouvoir relier yMax à x.

Mais je n'y parviens pas...

Est-ce la bonne méthode ?
Y a-t-il plus simple ?

Merci de vous y pencher.

Philoux

J'avais pensé, au début au cercle passant par A, B et l'image de R mais, sur le dessin en tout cas, ce ne semble pas être la bonne solution (courbe pointillé violette)

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Postez, postez : question d enveloppe 28-06-05 à 16:26

Sans y avoir consacré beaucoup de temps:

En prenant le centre du cercle bleu comme origine du repère, l'axe des abscisses // à AB.

Equation du cercle bleu:
x²+y² = R²

Equation de (AB): y = a. (avec a dans [0 ; R]

On a A(-V(R²-a²) ; a) et B(V(R²-a²) ; a)  

Un point P de l'arc de cercle bleu a pour coordonnées: P(X ; V(R²-X²)) avec X dans [-V(R²-a²); V(R²-a²)]

Equation d'un cercle ayant P comme centre:

(x - X)² + (y - V(R²-X²))² = R'²

et si ce cercle est tangent à (AB), on a R' = V(R²-X²) - a

--> Equation du cercle: (x - X)² + (y - V(R²-X²))² = [V(R²-X²) - a]²

(y - V(R²-X²))² = [V(R²-X²) - a]² - (x - X)²

y - V(R²-X²) = +/- V[(V(R²-X²) - a)² - (x - X)²]

y = V(R²-X²)  +/- V[(V(R²-X²) - a)² - (x - X)²]

La max de y est bien sûr avec le + -> on ne considère que:

y = V(R²-X²)  + V[(V(R²-X²) - a)² - (x - X)²]

Pour une abscisse x donnée (mais dans [-V(R²-a²); V(R²-a²)]) quel est le X qui rend y max ?

dy/dX = 0  (attention, dérivée par rapport à X et pas x)

Tirer si possible de l'expression ci dessus: x = f(X)

-----

Le lieu cherché est donné sous forme paramétrique par :

y = V(R²-X²)  + V[(V(R²-X²) - a)² - (x - X)²]
x = f(X)
-----

Sauf distraction ou bêtise, vérifie ...


Posté par philoux (invité)re : Postez, postez : question d enveloppe 28-06-05 à 17:00

Merci J-P

Philoux

Posté par philoux (invité)re : Postez, postez : question d enveloppe 29-06-05 à 11:46

Bonjour J-P

J'ai analysé à tête reposée ton post et il me semble que tu arrives aux mêmes difficultés que celles que j'évoquais dans mon post de 13:31.

En effet, la formulation, dans le repère que tu indiques, est :

y = V(R²-X²) + V[(V(R²-X²) - a)² - (x - X)²]

Cette formulation me pose les mêmes soucis : un sur la formultation de x(X), l'autre sur celle de y(X).


A) Expression de x(X) :

Tu précises :

dy/dX = 0 (attention, dérivée par rapport à X et pas x)

or, en annulant cette dérivée, tout comme la mienne, je ne parviens pas à exprimer facilement x en fonction de X.
J'ai une eq du 2° en x et X faisant intervenir des racines dans tous les sens.
Comment t'y prends-tu ?
Peux-tu développer la méthode pour contourner ces difficultés à exprimer x en fonction de X ?


B) Expression de y(X)

Tu indiques :

Le lieu cherché est donné sous forme paramétrique par :
x = f(X)
y = V(R²-X²) + V[(V(R²-X²) - a)² - (x - X)²]


or, l'expression de y fait aussi intervenir le petit x

Question :
Est-il possible de fournir des équations paramétriques autrement que par :
x=f(X)
y=g(X)
?
Ou suffira-t-il de remplacer le x obtenu (obtenable?) au-dessus par x(X) ?

De façon plus générale, comment procède-t-on quand on ne parvient pas à exprimer, de façon univoque, l'une des deux variables (ou les deux) en fonction du paramètre ?

J'étais parti sur une formulation polaire en introduisant l'angle variable t.
Il me semble, au feeling, que ça permettrait d'exprimer plus facilement l'expression de la courbe cherchée mais n'en suis pas certain et, surtout, je ne parviens pas à l'exploiter...

Merci à ceux qui voudront bien (continuer de ) s'y pencher.

L'énoncé brut a été fourni au post de 13:18

Philoux

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Postez, postez : question d enveloppe 29-06-05 à 12:57

Je n'ai certe pas le courage de mener à terme ce genre de calculs de manière littérale.

Sur un exemple numérique:

R = 1 et a = 0,6 par exemple.

y = V(1-X²) + V[(V(1-X²) - 0,6)² - (x - X)²]

y = V(1-X²) + V[1-X² + 0,36 - 1,2.V(1-X²) - (x² + X² - 2xX)]

y = V(1-X²) + V[1,36 - 2X² - 1,2.V(1-X²) - x²  + 2xX]

dy/dX = -X/V(1-X²) + [-4X + 1,2X/V(1-X²) + 2x]/[2V(1,36 - 2X² - 1,2.V(1-X²) - x²  + 2xX)]

dy/dX = 0 -->

-X.[2V(1,36 - 2X² - 1,2.V(1-X²) - x²  + 2xX)] + [-4X + 1,2X/V(1-X²) + 2x].V(1-X²) = 0

X.[2.(y-V(1-X²)) - x² + 2xX] = [-4X + 1,2X/V(1-X²) + 2x].V(1-X²)

X.[2.(y-V(1-X²)) - x² + 2xX] = -4X.V(1-X²) + 1,2X + 2x.V(1-X²)
    
2Xy - 2X.V(1-X²) - x²X + 2xX² = -4X.V(1-X²) + 1,2X + 2x.V(1-X²)

2Xy - x²X + 2xX² = -2X.V(1-X²) + 1,2X + 2x.V(1-X²)
-----
On a jusqu'ici les 2 équations:

y = V(1-X²) + V[(V(1-X²) - 0,6)² - (x - X)²]
2Xy - x²X + 2xX² = -2X.V(1-X²) + 1,2X + 2x.V(1-X²)

Calcul de y pour une valeur de X, soit par exemple X = 0,2.
On a :
y = V(1-X²) + V[(V(1-X²) - 0,6)² - (x - X)²]
2Xy - x²X + 2xX² = -2X.V(1-X²) + 1,2X + 2x.V(1-X²)

La première équation devient:
y = 1,01980390272 + V(0,176235316738 - x² + 0,4x - 0,2²)
y = 1,01980390272 + V(0,136235316738 - x² + 0,4x)

La seconde équation devient:
0,4y - 0,2x² + 0,08x = -0,391918358845 + 0,24 + 1,95959179423x
0,4y - 0,2x² + 0,08x = -0,151918358845  +  1,95959179423x
0,4 y = 0,2x² +  1,87959179423x - 0,151918358845
y = 0,5x² + 4,69897948557x - 0,379795897113

on a donc:
1,01980390272 + V(0,136235316738 - x² + 0,4x) = 0,5x² + 4,69897948557x - 0,379795897113
V(0,136235316738 - x² + 0,4x) = 0,5x² + 4,69897948557x - 1,39959979983

On élève les 2 membres au carré et on a une équation du 4 ème degré dont la racine intéressante est dans [0 ; 1]

On trouve: x = 0,36570...
et y = 1,01980390272 + V(0,136235316738 - 0,36570...² + 0,4*0,36570...)
y = 1,405522...

Donc le point (0,36570... ; 1,405522...) est un point de l'enveloppe cherchée.

Il y a une émorme probabilité que j'ai fait une erreur de calcul quelque part ..., mais bon.

On peut ainsi calculer autant de points que l'on veut en recommençant ces calculs pour d'autres valeurs de X dans l'intervalle [0 ; 1], la courbe étant symétrique pour [-1 ; 0].
-----
Libre aux courageux de traiter le cas de manière littérale.

Sauf distraction (ou erreurs presque certaines).  





Posté par philoux (invité)re : Postez, postez : question d enveloppe 29-06-05 à 13:51

Ok et merci J-P

Bon ben... J'croyais qu'il y avait plus simple/sioux pour trouver une méthode moins fatidueuse !
Tu sembles confirmer qu'il faille passer par cette méthode analytique lourde; dommage...

Je m'attendais, comme tu l'avais trouvé pour "la porte du garage" Porte de garageà qqchose de plus direct,
même en coordonnées paramétriques, polaires ou pas : x(t) et y(t)

Philoux

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Postez, postez : question d enveloppe 29-06-05 à 14:01

Il y a peut-être plus direct, je n'ai pas cherché.

Ou peut-être est-il possible à partir des équations trouvées de les mettre sont une forme plus facilement manipulables.




Posté par philoux (invité)re : Postez, postez : question d enveloppe 30-06-05 à 10:05

Bonjour,

Ce pb continuant de me titiller, voici la réponse en image à l'enveloppe des cercles dont le centre est sur l'arc AB et tangents à la corde AB.

Pour les plus curieux, et avec les notations d, h et R fournies, les éq. paramétriques (t paramètre) sont :

x(t) = (t/R²)((2(R²)-t²-h(R²-t²)^(1/2))+((2(R²)-t²-h(R²-t²)^(1/2))²+R²(2t²-3(R²)+2*h*(R²-t²)^(1/2)))^(1/2))

y(t) = (-(h)+(R²-t²)^(1/2))+((-(h)+(R²-t²)^(1/2))²-(((t/5²)((2(R²)-t²-(h)(R²-t²)^(1/2))+((2(R²)-t²-(h)(R²-t²)^(1/2))²+R²(2t²-3(R²)+2*h*(R²-t²)^(1/2)))^(1/2)))-t)²)^(1/2)

La courbe a été faite avec les paramètres R=5 et h=3.

Comme les images de A et B sont A et B eux-mêmes,
et que l'image de P est P' tq OP'=2OP,
on aurait pu s'attendre à trouver :
- soit un arc de cercle passant par A,B et P',
- soit une demi-ellipse de grand axe AB et demi-petit axe AP'
Eh bien non, la courbe enveloppe est encore autre chose.

Cependant, vu la nature du pb qui parle d'arc de cercle et de cercles mobiles, je continue de croire qu'un passage en polaire doit être possible/intéressant et éviterait les équations à rallonge de ci-dessus.

Philoux

Postez, postez : question d enveloppe :lol:

Posté par philoux (invité)re : Postez, postez : question d enveloppe 01-07-05 à 08:45

Bonjour,

Suite et fin sur ce post, pour lequel je recherche le nom de la courbe obtenue.

L'énoncé initial proposant un arc de cercle, j'ai étendu cet arc de cercle à un demi-cercle (h=0) et, par symétrie, ai complété en réalisant un cercle entier (en bleu).

J'obtiens une courbe (la rouge) qu'il me semble être connue, l'ayant déjà vue (mais où ?).

Si d'aucuns connaissait son nom et ses propriétés, n'hésitez pas à répondre.

Merci,

Philoux


Postez, postez : question d enveloppe :lol:

Posté par
manpower
re : Postez, postez : question d enveloppe 01-07-05 à 09:34

Bonjour philoux,

il s'agit d'une néphroïde (famille des épicycloïdes comme les cardioïdes, les conchoïdes...)

Un petit lien issu de google pour confirmer :

(mais maintenant que tu connais le nom, il y a certainement plus complet sur le sujet)

Posté par philoux (invité)re : Postez, postez : question d enveloppe 01-07-05 à 09:43

Bonjour manpower

Merci bien pour le lien ! Ca semble, en effet, très complet.

Par ailleurs, il semble répondre à mes interrogations de paramétrage polaire ou non.

Avec h=0, les equations se simplifient un peu mais j'avais des trucs à rallonge, avec un risque d'erreur important.

Autre chose :
Je viens de regarder le classement; c'est dans un mouchoir de poche pour Razibus et toi.

Tu as encore une chance de coiffer au poteau si Razibus échoue et toi pas.

Vivement que Victor étouffe ce suspense rapidement...

Philoux

Posté par philoux (invité)re : Postez, postez : question d enveloppe 04-07-05 à 12:00

Re bonjour,

Certains m'ont fait remarquer qu'il n'était pas suffisant de montrer que si 2 courbes se ressemblaient, elles avaient les mêmes équations paramétriques...

Après contact avec plus costaud, voici une démonstration :

Si r est le rayon du cercle de dimaètre AB de centre O et C( le centre de votre cercle mobile (c) , on a : (x - Rcost)² + (y-Rsint)² = R²sin²t avec avec t = (OB,OC). Posez pour simplifier X = x - Rcost et Y = y-Rsint  et dérivez l'équation par rapport à t (technique générale des enveloppes) :

X²+Y² = R²sin²t    et  XX' + YY' = R²sintcost. Mais X' = Rsint et Y' = -Rcost. Calculez Y en fonction de X : vous trouverez Y = tant(X-Rcost); Remplacez dans X²+Y² = R²sin²t. Tout s'arrange car X n'est jamais nul : X = 2Rcostsin²t.

Avec un peu de patience, on trouve Y puis :

x = Rcost(2sin²t +1) = 3Rcost - 2Rcos(t)^3 (cos cube)
y = 2Rsin(t)^3  (sinus cube).

En linéarisant les sin cube et cos cube :

x = R/2 *(3cost - cos3t)
y = R/2*(3sint - sin3t)

C'est bien l'équation d'une néphroïde : cf. http://serge.mehl.free.fr/courbes/epicycloide.html#nephro


Puis, rien que pour voir si le gif animé passe sur le forum, l'animation en question (obtenu avec Gif Animator 5, le lien de J-P semblant mort...)

Philoux

Postez, postez : question d enveloppe :lol:



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