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Pour J-P le boss des séries ...
Voila J-P j ai un soucis un ptit pb de série de fonction je pense
qu il y a tout simplement un théoreme a appliqué pour cette question
mais je trouve pas , si tu peux m aider ce serait cool ....
4) Soient a,b >0 . Donner une condition nécessaire et suffisante sur
a et b pour que l'intégrale suivante converge.
+∞
∫ (x^a) ln ( 1+(1/x^b) ) dx
0
en +inf ln(1+1/x^b) equivaut à 1/x^b donc f(x) equivaut à x^a/x^b
=x^(a-b) converge si a-b>1 (riemann)
en 0 faux probleme f(x) se prolonge par continuite en posant f(0)=0
la condition est donc a-b>1
Voila ,à verifier
A+
Comme Guillaume, je pense que f(x) = (x^a).ln ( 1+(1/x^b) ) se prolonge
en 0 par continuite en posant f(0)=0.
Donc pas de problème de ce côté.
On a aussi lorsque x ->oo : (x^a).ln ( 1+(1/x^b)) presque égal à x^(a-b)
Jusque là OK, ensuite je ne suis plus d'accord.
Pour moi (a - b) doit être < -1 pour que l'intégrale converge.
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Pour les valeurs de x élevées, on a f(x) presque = x^(a-b)
Avec S pour le signe intégrale:
S x^(a-b) = [1/(a-b+1)].x^(a-b+1) + C
Pour x = oo, x^(a-b+1) = oo si a - b + 1 > 0 -> divergence.
Pour x = oo, x^(a-b+1) = 0 si a - b + 1 < 0 -> convergence.
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La convergence a lieu pour a - b < -1.
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Sauf si je me trompe.
C bien a - b < -1 guillaume c trompé en mettant sous la forme d'une
intégrale de rieman.
en fait c x^(b-a) et c dc bien b - a > 1
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