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Pour un Dollar de plus
Bonjour à tous .
Avez-vous essayé de faire entrer 10+1=11 disques de 1 cm de rayon dans une boîte rectangulaire de 10 cm de long sur 4 cm de large ?
Plus généralement existe-t-il une longueur L entière ( en centimètres ) pour laquelle on peut faire entrer L+1 disques ( toujours de rayon 1 ) dans un rectangle L X 4 ?
Si oui quel est le plus petit de ces rectangles ?
Imod
PS : Attention à bien lire la question .
PPS : Blankage inutile 
Imod
Joli
Pour le moment, je me contente de faire de l'analyse de texte :
L'énoncé de la seconde question permet de savoir quelle est la réponse pour la première 
Cliquez pour afficherPetites précisions : les pièces sont posées à plat , ne se chevauchent pas et ne sortent pas du cadre du rectangle .
Amusez-vous bien
Imod
10 Bonjour à tous
Si je comprends bien la "boîte" a une profondeur nulle et les disques une épaisseur nulle ?
dans le cas de 11 disques je dirais que la longueur ( nombre entier) est 12 cm ( et pour le même prix on peut en caser 12 !)
la longueur mini étant 11,732 cm pour 11 disques
Tu as parfaitement compris le problème mais faire entrer 2n+1 pièces dans un rectangle de longueur inférieure à 2n+1 est plus facile que de faire entrer 2n+1 pièces dans un rectangle de longueur 2n 
L'idée est bonne .
Imod
Bonsoir,
Je me lance
La réponse me semble être oui. Le plus petit de ces rectangles a une longueur de 560.
Petite erreur de frappe dans la réponse à Mijo : faire entrer 2n+1 pièces dans un rectangle de longueur inférieure à 2n+2 est plus facile que de faire entrer 2n+1 pièces dans un rectangle de longueur 2n .
@Syvieg : il serait bon de donner une idée de ta stratégie
Imod
Comme dirait LittleFox, un petit schéma vaut mieux qu'un long discours.
Voici donc un long rectangle :
Suite,
Sur le schéma de Syvieg on voit le décalage de départ dont je parlais dans ma réponse, et je disais qu'il ne serait jamais comblé.
J'avais vu l'effet de vague qui compensait en partie,mais dans mon modèle cela me
paraissait insuffisant.
Je vois maintenant que c'est possible, je dirai autour de L=449
suite,
On a donc un décalage initial de 
3/2 cm puis un gain toutes les 5 pièces
dû à l'effet de vague 3/2 (trois tangentes et deux écartées du bord de 2-3/2 cm ) soit de 0.03606 cm .
Je propose entre 270 et 280.
Avec mes vagues, j'ai calculé par paquets de 10 disques.
Je trouve du dans mes calculs...
En les empilant par paquets de 3+3 (au lieu de 5+5) comme si dessous, je pense obtenir une meilleure compression.
Le point le plus à droite du premier cercle a pour abscisse 2, le suivant 1 de plus puis 1 puis un tout petit peu moins que 1, notons cette valeur . Ensuite ça continue : 1,1,a,1,1,a,1,1,a,...
On a
On cherche le minimum de n tel que L(n+1) <= n. Ce qui arrive pour la première fois avec n=334.
En utilisant la méthode de Sylvieg on a comme incrément (1,1,1,1,a) au lieu de (1,1,a) ce qui donne si mes calculs sont juste un n minimum égal à 556.
Bravo LittleFox, c'est effectivement visiblement mieux.
Je vais reprendre mes calculs pour tenter de trouver mon erreur avec 280...
Il y a une autre technique alternant b,c,b,c,b,c mais au final moins efficace :
Le n minimum est 438.
Bravo LittleFox
C'est donc la "vague" 2/1 qui l'emporte puisque celles de 1/1 et 3/2 sont moins performantes ,que donnerait 2/2?
Ma dernière solution est une vague 2/2, si on regarde bien il y a 4 pièces accolées. Plus courte est la vague mieux c'est apparemment.
La vague 1/1 est tellement redressée qu'elle est équivalente à la vague 
/. Qui est l'exemple de départ donné dans l'énoncé.
J'espère ne pas avoir été trop vague 
J'étais un peu occupé aujourd'hui 
Dans la méthode proposée par LittleFox , pourquoi commencer par le premier disque ?
Imod
@dpi
Faudra qu'on se mette d'accord pour x/y :p (attention que c'est le disque qui doit tenir dans la boîte et non le centre du disque.
Imod
Pourquoi commencer au début? Parce que c'est le début? . C'est aussi le seul disque dont la position est facile à définir/calculer.
Pour ma méthode avec les groupes de 5, j'ai trouvé mon erreur, et ai réussi à obtenir le même 556 que LittleFox
@LittleFox : quand tu enlèves les deux premières pièces tu perds 2 sur la longueur
Imod
Pas nécessairement, dans la technique b,c,b,c,... je perds un tout petit peu moins que 2 sur la longueur. Par contre on pourrait regarder les centres de disques qui tiennent dans une boîte 2x(L-2) et ça reviendrait au même.
LitteFox
On enlève deux d'un côté et deux de l'autre , on ne change rien mais on a gagné deux points
Imod
Suite,
En fait, on ne s 'intéresse qu'à la pile qui touche le bord de départ car l'autre pile comprendra une pièce de moins.
Dans l'exemple 2/2 soit 2 pièces tangentes et 2 pièces espacées du bord de 2-3 cm
soit une alternance de 2cm et de cm.
Sans oublier le rayon ( 1cm )de la première on peut gagner une pièce (soit 2 cm) avec L=445 cm
Je voulais simplement dire qu'en enlevant 2 cm à gauche dans la vague 2/1 , on obtenait une boîte de 331 cm de long contenant 332 pièces .
C'est le meilleur résultat que j'ai trouvé .
Imod
Bonjour,
On enlève deux d'un côté et deux de l'autre , on ne change rien mais on a gagné deux points
Ai-je bien compris ?
Il me semble que, dans cette configuration, on gagne 4 points
Pas tout à fait car la coupe à droite va mordre sur un voisin en haut à gauche ( il faudrait grossir l'illustration de LittleFox pour s'en rendre compte ) .
Imod
Je suis d'accord qu'on ne peut pas couper à droite n'importe où.
Il faut couper au niveau de l'axe d'un triangle équilatéral formé par 3 centres.
C'est le cas à gauche. Ce n'est pas toujours le cas à droite.
Si L(557) 
556 , c'est à dire que 557 disques rentrent dans un rectangle de longueur 556 , alors les centres des 3 derniers disques ne forment pas un triangle équilatéral ; et on ne peut pas couper 
Suite....
J'ai essayé tous les modèles de vagues de 1/1 à 3/3....
Le gagnant est 2/1 qui donne effectivement L=235
Sauf avis de Imod
Je voulais simplement dire qu'en enlevant 2 cm à gauche dans la vague 2/1 , on obtenait une boîte de 331 cm de long contenant 332 pièces .
C'est le meilleur résultat que j'ai trouvé .
Imod
Bien vu, je n'y avais pas pensé.
Ce que dit Sylvieg est valide aussi pour la configuration 1/2. La dernière pièce à droite ne fait pas partie d'un triangle équilatéral et donc on ne peut pas couper.
Je suppose que (N,L) = (332,331) est donc la plus petite solution.
Je suppose que (N,L) = (332,331) est donc la plus petite solution.
C'est la meilleure que j'ai trouvée
Imod
Bonjour,
Encore deux remarques et une question.
A propos de ceci pour ma configuration :
Si L(557)
556 , c'est à dire que 557 disques rentrent dans un rectangle de longueur 556 , alors les centres des 3 derniers disques ne forment pas un triangle équilatéral ; et on ne peut pas couper On aurait alors une longueur de 553 pour 554 disques
Il est vraiment surprenant que l'optimisation ne se fasse pas en "calant" le premier disque dans un coin. L'intuition est prise en défaut.
Chaque fois (enfin pas tout à fait) que je range des verres de base circulaire sur une étagère, je me demande sil vaut mieux décaler les rangées pour en caser un maximum.
Existe-t-il des études sur ce sujet ?
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