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Pourquoi arg(Z1/Z2) = arg(Z1) - arg(Z3) ?

Posté par
freeti
14-01-09 à 10:25

Bonjour,

Je ne comprend pas pourquoi le nombre complexe Z3 tel que Z3 = Z1/Z2 admet pour argument arg(Z1) - arg(Z2) ci cela est une propriété découlant d'une définition pourriez vous m'en faire la démonstration (ou le gros de la démonstration je composerai avec).

Cordialement !

freeti

Posté par
dhalte
re : Pourquoi arg(Z1/Z2) = arg(Z1) - arg(Z3) ? 14-01-09 à 11:02

écris z1 et z2 sous forme trigo et utilise les propriétés des exponentielles ou si ça ne te va pas, utilise les identités cos(a-b) et sin(a-b)

Posté par
cailloux Correcteur
re : Pourquoi arg(Z1/Z2) = arg(Z1) - arg(Z3) ? 14-01-09 à 11:02

Bonjour,

Par exemple:

On démontre d' abord que pour z\not=0, Arg\left(\frac{1}{z}\right)=-Arg(z)\;\;[2\pi]:

soit z=r(\cos\,\theta+i\,\sin\,\theta )

r^2=z\bar{z}=|z|^2 d' où: \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{r^2}=\frac{1}{r}(\cos\,\theta-i\,\sin\,\theta )

soit \frac{1}{z}=\frac{1}{r}[\cos\,(-\theta)+i\,\sin\,(-\theta)]

et Arg\left(\frac{1}{z}\right)=-Arg(z)\;\;[2\pi]

Puis Arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=Arg\left(z_1\times \frac{1}{z_2}\right)=Arg(z_1)+Arg\left(\frac{1}{z_2}\right)=Arg(z_1)-Arg(z_2)\;\;[2\pi]

Posté par
freeti
Besoin d'explications suplémentaires 14-01-09 à 15:44

Z1 = 1+i3, arg Z1 = pi/3

Z2 = 1 - i , arg Z2 = 7pi/4

dhalte "écris z1 et z2 sous forme trigo et utilise les propriétés des exponentielles".

Donc sous forme trigo ça me donne pi/3 et 7pi/4 et là je ne vois pas ou je peux utiliser les propriétés des exponentielles ? Si tu peux m'expliquer à l'aide de cet exemple.

dhalte toujours "utilise les identités cos(a-b) et sin(a-b)"

Peux tu me dire comment les utiliser dans cet exemple ?, cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sinasinb, sin(a-b)=cos(a)sin(b) - sin(a)cos(b)

cailloux

peux tu transposer avec mon Z1 ta démonstration s'il te plait, car :
-je ne comprend pas pourquoi tu définis ton z avec des cosinus et des sinus (pourquoi pas, c'est des réels x et y)
-je ne sais pas du tout ce que signifie le r devant la parenthèse (rayon ? ..)
-et donc après r carré = Z Zconjugué = module de Z au carré je suis plus du tout.

Je vous remercie beaucoup,

freeti

Posté par
freeti
re : Pourquoi arg(Z1/Z2) = arg(Z1) - arg(Z3) ? 15-01-09 à 09:36

Ou éventuelement si quelqu'un peux m'expliquer une des techniques pour arriver à arg(Z1/Z2)= arg(Z1) - arg(Z2) a l'aide de mon exemple....

Cordialement,

freeti

Posté par
cailloux Correcteur
re : Pourquoi arg(Z1/Z2) = arg(Z1) - arg(Z3) ? 15-01-09 à 21:28

Citation :
Z1 = 1+i3, arg Z1 = pi/3

Z2 = 1 - i , arg Z2 = 7pi/4


On peut aussi écrire Arg(z_2)=-\frac{\pi}{4}\;\;[2\pi]

Et avec la règle démontrée plus haut:

Arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right)=Arg(z_1)-Arg(z_2)=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12}\;\;[2\pi]



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