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Pourquoi cette suite tend vers +infini

Posté par
AyoubAnnacik
23-06-22 à 02:05

Paisible Journée!
Je voulais savoir pourquoi on a l'implication suivante:
Si (xn) une suite de nombres réels positifs tel que xn+1/xn tend vers a>1 (supérieur strictement) alors on a xn tend vers +infini?
Merci!!

Posté par
Thomasdxb
re : Pourquoi cette suite tend vers +infini 23-06-22 à 06:16

Bonjour Ayoub,

Déjà, si \frac{x_{n+1}}{x_n}\to a>1, alors à partir d'un certain rang N, \frac{x_{n+1}}{x_n}\ge 1 avec x_N>0 et donc la suite (x_n)_{n\ge N} est croissante.
En particulier, \forall n\ge N, x_n\ge x_N>0 et donc la suite (u_n) ne tend pas vers 0.

Est-ce que tu es sûr qu'on te demande de montrer que c'est la suite (x_n) qui tend vers +\infty ?

Posté par
Thomasdxb
re : Pourquoi cette suite tend vers +infini 23-06-22 à 06:16

La suite (x_n) *

Posté par
luzak
re : Pourquoi cette suite tend vers +infini 23-06-22 à 08:19

Tu as facilement,  en prenant un réel b tel que 1<b<a, à partir d'un certain rang n_0, x_n\geq x_{n_0}b^{n-n_0}

Posté par
Thomasdxb
re : Pourquoi cette suite tend vers +infini 23-06-22 à 08:34

Bonjour Luzak,

Comment as-tu pensé à ça ??

Posté par
lionel52
re : Pourquoi cette suite tend vers +infini 23-06-22 à 11:33

C'est classique, c'est la règle de D'Alembert

Posté par
AyoubAnnacik
re : Pourquoi cette suite tend vers +infini 23-06-22 à 11:41

luzak grand merci je la trouvé!!
Thomasdxb on a par définition
>0 on a |(xn+1/xn)-a|<
Donc a+>xn+1/xn>a- tout ça à partir d'un certain rang n0 donc on peut encore faire a+>x1+n[sub]0[/sub] /xn[sub]0[/sub] >a-
Donc en faisant la multiplication des termes qui sont tous positif on obtient
(a+)n-n0 > xn/xn[sub]0[/sub]>(a+)n-n0
Donc on peut choisir le de sorte que a->b puisque \ est dense dans donc ce qu'on obtient c'est la formule de luzak c.q.f.d

Posté par
AyoubAnnacik
re : Pourquoi cette suite tend vers +infini 23-06-22 à 11:43

lionel52 oui je sais que c'est la règle d'Alembert mais je ne trouve pas une pour les suites, est-ce que tu en dispose une source?

Posté par
Razes
re : Pourquoi cette suite tend vers +infini 23-06-22 à 11:43

Bonjour,

Thomasdxb @ 23-06-2022 à 08:34

Bonjour Luzak,

Comment as-tu pensé à ça ??

Voila ce qui te manquait: \exists n_0\in\mathbb{N^*}; n> n_0; \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}> b\Rightarrow x_{n+1}> b x_{n}> b^2 x_{n-1} > ...

Posté par
AyoubAnnacik
re : Pourquoi cette suite tend vers +infini 23-06-22 à 12:03

Razes voilà ça en un seule ligne

Posté par
Thomasdxb
re : Pourquoi cette suite tend vers +infini 24-06-22 à 15:40

Merci Razes, c'est super intéressant !

Posté par
carpediem
re : Pourquoi cette suite tend vers +infini 24-06-22 à 17:54

salut

si q_n = \dfrac {x_{n + 1}} {x_n} \to a > 1   un grand classique est de prendre q = \dfrac 12 (a + 1) > 1

et alors   \exists N  /  \forall n \ge N  :  q_n > q > 1

alors ce qu'écrit Razes de façon compacte c'est que pour tout n > N  :

x_{N + 1} \ge q x_N
 \\ x_{N + 2} \ge q x_{N + 1}
 \\ ...
 \\ x_{n - 1} \ge q x_{n - 2}
 \\ x_n \ge q x_{n - 1}

en remarquant alors que n = N + n - N on peut alors multiplier membre à membre ces n - N inégalités (donc en nombre fini) membres à membres pour obtenir x_n \ge q^{n - N } x_N

la théorie sur les limites de suites géométriques permet de conclure ...

Posté par
AyoubAnnacik
re : Pourquoi cette suite tend vers +infini 25-06-22 à 15:45

Merci carpediem

Posté par
carpediem
re : Pourquoi cette suite tend vers +infini 25-06-22 à 16:08

de rien



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