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Niveau sixième
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Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie

Posté par
Torquemada
03-09-13 à 10:10

Bonjour à tous ,
Comment expliquer à un enfant que son raisonnement logique est faux:
Voici le pb:

Un collectionneur achète un tableau 5000 euro.Il le revend 6000 euro.
Il le rachète plus tard 7000 euro pour le revendre finalement 8000 euro.
A-t-il perdu ou gagné de l'argent ? combien?
Réponse de l'enfant
En passant de -5000€ à 6000€ il gagne 1000€
En passant de +6000€ à -7000€ il perd 1000€
en passant de -7000€ à +8000€ il gagne 1000€

D'ou le gain 1000-1000+1000=1000 . ce qui est faux
Merci de m'avoir consacré de votre temps.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie 03-09-13 à 10:39

Je ferais comme suit (mais je ne suis pas prof) :


Partir d'une somme dans une "tirelire" appartenent au collectionneur et contenant une somme supérieure à la valeur variable du tableau en court de route, par exemple tirelire contenant 10000 €

Effectuer toutes les opérations (une par une) et voir le contenu de la tirelire en fin d'exercice ... pour en déduire le bénéfice ou la perte globale.

Au départ :
Tirelire : 10000 € et pas de tableau.

Un collectionneur achète un tableau 5000 euro. ---> Tirelire 5000 € et il possède le tableau.
Il le revend 6000 euro. ---> tirelire 11000 € et il n'a pas le tableau.
Il le rachète plus tard 7000 euro ---> tirelire 4000 € et il possède le tableau
pour le revendre finalement 8000 euro ---> tirelire 12000 € et il n'a plus le tableau.

Il avait au départ une tirelire avec 10000 € et au final sa tirelire contient 12000 € ... (et il navait pas le tableau au départ et ne l'a pas non plus à la fin)
---> gain : 2000 €

Posté par
Papy Bernie
re : Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie 03-09-13 à 10:42

Bonjour,

faire 2 colonnes :

- une colonne "dépenses" = ce qui sort de sa poche.

- une colonne "recettes" = ce qui rentre dans sa poche.

Gain= recettes - dépenses ( gain si recettes > dépenses )

Ici : dépenses=5000+7000=12000 et recettes=6000+8000=14000

Gain=14000-12000=2000

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie 03-09-13 à 11:02

Bonjour,

Citation :
En passant de +6000€ à -7000€ il perd 1000€
c'est cette ligne là qui est stupide et qui n'a aucun rapport avec ses gains et ses pertes

il achète un truc 5000 et le revend 6000 : il a gagné 1000
plus tard il achète un machin 7000 et le revend 8000 : il a gagné 1000
point final
gain total 2000

On voit bien que s'il avait acheté la deuxième fois un machin 26000 et revendu 27000, le même gain de 1000 et en tout toujours un gain total de 2000
alors que le raisonnement fallacieux prétendrait que
il aurait gagné 6000 - 5000 = 1000
puis perdu 26000 - 6000 soit = 20000 (gagné -20000)
puis gagné 27000 - 26000 = 1000
pour un "gain" total de 1000 - 20000 + 1000 = une perte de 18000 ????

en fait il n'a rien perdu dans le deuxième achat : il a en plus un tableau qui vaut 7000 au moment de l'achat
donc ce "gain" dans cet achat c'est 0
"gain" -7000 (ce qu'il a déboursé) + 7000 (la valeur du tableau qu'il possède désormais) = 0 et n'a rigoureusement aucun rapport avec la valeur précédente du tableau (voire d'un autre tableau !!)

bref des tas de façons de voir que cette entourloupe est du même genre que le problème célèbre du dollar disparu (ou de l'euro disparu) :
en ajoutant / retranchant des valeurs qui n'ont aucun rapport au seul prétexte que ce sont des chiffres de l'énoncé on obtient un résultat qui ne veut rien dire.

Posté par
LeDino
re : Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie 03-09-13 à 11:55

Bonjour à tous,

Je ne crois pas que l'élève ait beaucoup "raisonné".
Il a aligné les chiffres pour trouver un résultat, mais sans comprendre...

Si c'est le cas, essayer de trop analyser son erreur risque d'être une perte de temps et de l'embrouiller plus encore.
Qu'expliquer d'autre que ce qu'a dit mathafou, à savoir : dire "en passant de +6000 à -7000 il perd 1000" est une grosse bêtise.
Car le collectionneur n'est simplement pas concerné par le passage de la valeur de l'objet de 6000 à 7000.
On ne mesure le bénéfice (ou la perte) que sur chaque "aller-retour" : prix de vente - prix d'achat.
Ici il n'y a que deux "allers-retours".

Eventuellement, on peut faire réfléchir l'élève à ceci :
Si le deuxième aller-retour concernait un OBJET DIFFERENT (aux mêmes prix), peut-être verrait-il mieux son erreur.
Achat d'un objet A à 5000, revente à 6000 :  bénéfice sur A = 1000
Achat d'un objet B à 7000, revente à 8000 :  bénéfice sur B = 1000

Ici, A et B sont le même objet... mais ça ne change rien au calcul.

Posté par
alainpaul
re : Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie 03-09-13 à 19:48

Bonsoir,


Je trouve le problème très intéressant au-delà même
de la sixième.

Les solutions proposées sont diverses et différentes;
celle de mathafou suppose une bonne compréhension initiale
de la question posée, celles de JP et Papy Bernie sont
plus 'douces' et peuvent conduire à la solution plus mathématique
donnée par Ledino et mathafou,



Alain

Posté par
LeDino
re : Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie 03-09-13 à 23:18

Bonsoir Alain,

Le problème soulevé, à savoir :  "Comment expliquer à un enfant que son raisonnement logique est faux"... est un problème crucial. Mais malheureusement terriblement frustrant, je le crains.

En effet, en généralisant à tout un chacun et pas seulement aux enfants, les esprits "logiques" sont quotidiennement assaillis d'expériences d'incompréhension logique de la part de nombre de leurs congénères moins affutés. Et ils auront beau s'escrimer à "expliquer" de façon très "logique" ce qu'ils ont compris (et qui est logiquement juste)... leurs explications resteront souvent inaccessibles aux esprits peu ou mal formés au raisonnement, surtout s'ils sont peu disposés à la réflexion, et pire encore s'ils n'ont pas "confiance" dans la personne qui leur donne l'explication.

Je pense par exemple que l'enfant cité en référence du post, n'a pas vraiment "raisonné".
Il a juste tenté de se débarrasser d'un encombrant problème, en appliquant une méthode qui lui paraissait simple, mécanique, méthodique... bref "mathématique" dans son apparence.

Pour peu qu'une tierce personne de passage ait surpris l'échange et soit intervenu en expliquant à son tour la solution de façon un peu différente (mais pas forcément beaucoup), avec ce qu'il faut de confiance, de conviction, d'autorité séduisante... et hop ! la conviction de l'enfant aurait pu être emportée...

Parce que le soucis n'est pas ici que l'enfant n'ait pas trouvé la solution.
Le problème est qu'ayant eu connaissance de la solution... il semble l'avoir niée et ne l'avoir pas admise... ayant du mal à abandonner son idée première.

Tout le système de compréhension mathématique repose fondamentalement plus ou moins sur un principe de confiance. Chacun se forge cette confiance au fil du temps, à sa manière, avec ses référents, ses repères, de démonstrations en démonstrations, d'exercices en exercices, de vérifications en vérifications, de recoupement en recoupements... Cette confiance est une trame, jalonnée d'outils, parmi lesquels le langage et les techniques mathématiques enseignées à l'école...

Bref. Le sujet de "l'explication raisonnée" de la science est un sujet passionnant, et en définitive assez mal connu à mon sens.

Posté par
LeDino
re : Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie 03-09-13 à 23:21

ET j'ajoute que les meilleurs experts en raisonnement... sont souvent les premiers à avoir "oublié" tout le long processus d'apprentissage qui les a conduit peu à peu à leur niveau d'aisance et de confiance.

Posté par
alainpaul
re : Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie 05-09-13 à 16:23

Bonjour,

Je trouve tes remarques profondes,'le principe de confiance'
me semble très intéressant,cela revient souvent à une sorte
de présupposé:ce que l'autre me dit, m'explique,recèle une
grande dose de vérité et d'intelligence...

Peut-être que l'essentiel de la pédagogie est là,


Amicalement,


Alain

Posté par
LeDino
re : Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie 05-09-13 à 19:22

Bonjour Alain,

Merci pour ton compliment .

Pour compléter cette réflexion, on pourrait penser que le travail du pédagogue serait idéalement de transformer peu à peu la confiance qui est investie en lui, en confiance en soi chez son disciple... forcément préférable à une confiance "aveugle" en une autorité supposée compétente ...

Posté par
littleguy
re : Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie 05-09-13 à 20:46

Bonjour à tous

J'ai lu avec attention vos interventions éclairées.

Citation :
Comment expliquer à un enfant que son raisonnement logique est faux
Je propose d'élargir le débat :

Comment expliquer à un adulte que son raisonnement n'est pas logique, parce que finalement j'ai l'impression qu'en faisant un sondage en demandant une réponse rapide ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie 05-09-13 à 20:58

C'est bien ce que disait déja LeDino le 03-09-13 à 23:18 :

Citation :
En effet, en généralisant à tout un chacun et pas seulement aux enfants, etc..

Posté par
littleguy
re : Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie 05-09-13 à 21:37

Oui.

Posté par
alainpaul
re : Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie 06-09-13 à 10:30

Bonjour,


L'étude des réponses des élèves et de toute personne
traitant un énoncé de mathématique(s) est nécessaire,
tout aussi nécessaire sa traduction pratique pédagogique.

D'autre part il est un peu rapide de dire qu' "un raisonnement
n'est pas logique" ,si l'on veut avancer il faut expliquer
en quoi il ne répond pas à la démarche attendue.

Comment résister à une pulsion calculatoire?


Alain

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie 06-09-13 à 10:59

la pulsion calculatoire est un résultat du stress : il faut faire vite alors on fonce (tête baissée et parfois droit dans le mur, mais on fonce)

il faut un certain "recul", une certaine "sagesse" qui ne s'acquiert qu'avec les années pour savoir que prendre le temps de réfléchir avant de foncer est souvent un gain de temps au final.

dans un monde du "toujours plus loin toujours plus vite" c'est difficile !

Posté par
LeDino
re : Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie 06-09-13 à 12:45

Citation :
D'autre part il est un peu rapide de dire qu' "un raisonnement
n'est pas logique", si l'on veut avancer il faut expliquer
en quoi il ne répond pas à la démarche attendue.

Tout à fait juste.

Et cette nécessité renvoie le pédagogue à sa propre compréhension... et peut parfois le mettre en difficulté. Il n'est pas si simple d'analyser soi même ce qui fonde notre confiance dans une démonstration. Et encore moins simple de le transmettre à un esprit mal préparé ou peu disposé.

Du reste nous sommes plus formés, pédagogues compris, à montrer "la bonne voie", plutôt qu'à "expliquer les erreurs". Expliquer une erreur me semble toujours bien plus difficile que de simplement démontrer un résultat juste. En principe, un mathématicien qui prouve un résultat par une bonne démonstration, "sait" que toute autre démonstration aboutissant à un autre résultat est faux. Mais quelqu'un qui n'est pas en confiance avec le système mathématique pourra douter... et lui expliquer ce qui provoque son erreur demande un effort particulier.

Surtout lorsque l'énoncé ou le problème en lui-même, induit des pièges ou des leurres potentiels...

Je ne suis pas prof, mais j'imagine que les enseignants, au fil de leur expérience et des "défis" auxquels les confrontent les erreurs commises par leurs élèves, se forgent une sorte "d'expertise" qui les aide à mieux formuler les raisons des erreurs commises.

Mais en écrivant ces mots, je m'interpelle sur la question suivante : on connait pléthore d'ouvrages mathématiques sans cesse renouvelés et réécris...
Mais quelqu'un connait-il des ouvrages sur les "erreurs classiques" (et moins classiques...) commises en mathématiques, avec une analyse des raisons plausibles de ces erreurs et des propositions pour les expliquer de façon pédagogique ?

Ca doit forcément exister ?
Non ?

Posté par
LeDino
re : Pourquoi est ce faux ?;Arithmétique;pédagogie 06-09-13 à 12:58

Citation :
la pulsion calculatoire est un résultat du stress : il faut faire vite alors on fonce (tête baissée et parfois droit dans le mur, mais on fonce)

Oui, le stress ici est probablement présent. Pas seulement à cause de la nécessité d'aller vite. En l'occurrence, l'élève semble avoir persisté à "refuser" le résultat juste même après qu'on le lui ait présenté...

Les élèves peuvent être tentés de foncer tête baissée comme tu dis, également du fait de comportements induits : ils pensent qu'en mathématiques "on fait comme ça" : un problème = une méthode = une solution. C'est d'ailleurs comme ça que fait le prof à longueur de temps au tableau noir. Un problème ? On appuie sur le bouton... et Hop ! Voici la solution qui jaillit comme une évidence...

C'est toute la difficulté d'un enseignement qui se doit de transmettre des outils et des méthodes... Il est nécessaire de le faire... mais ce faisant, on risque d'oublier d'apprendre à comprendre et à réfléchir...

En sortant du lycée, les élèves disposent surtout d'un catalogue de réponses toutes faites à des problèmes bien définis. Nombreux sont ceux qui croient qu'ils savent faire des mathématiques... Ils ne savent de fait que résoudre des problèmes déjà résolus pour eux...

Je ne critique pas le système : je n'ai pas les compétences pour... mais je pense qu'il au minimum nécessaire d'être conscient de cet état de fait. Ne serait-ce que pour "ouvrir un peu plus" l'espace de réflexion, au moins dans le supérieur (ce qui est heureusement plus fréquent), voire en amont...



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