Bonjour.

Un R-espace vectoriel ou un C-espace vectoriel de dimension finie est complet parce que R et C sont complets.

Par contre, Q n'est pas complet.

En effet, il est simple de construire une suite dans Q dont la limite est qui n'est pas dans Q.

Bonjour fade2black

C'est lié à la complétude du corps lui-même. On devrait préciser "tout espace vectoriel normé de dimension finie sur un corps complet est complet".
En effet, si on remonte dans les démos, on a bien besoin de la complétude du corps : pour démontrer que tout suite réelle de Cauchy est convergente, on a besoin de montrer qu'elle a une valeur d'adhérence. C'est le théorème de Bolzano-Weierstrass qui intervient. Ce théorème devient faux lorsque l'on parle exclusivement de rationnels (une suite bornée de rationnels, n'admet pas forcément de valeur d'adhérence rationnelles).

Kaiser

Salut raymond !

OK, je me doutais que l'énoncé du théorème était incomplet, mais j'avais un peu l'impression de tourner en rond en disant "pour montrer que Q est complet, on aimerait utiliser le théorème mais on ne peut pas car Q n'est pas complet"... Merci à vous deux pour cette rapide clarification !

Pour ma part, je t'en prie !

Bonjour kaiser.

Bon dimanche.

Bon dimanche à toi aussi !

Salut

Tu pouvais utiliser aussi le fait que (E,d) est complet ssi toute suite décroissante de fermés non vide dont le diamètre tend vers 0 a une intersection non vide.

Salut FF,

comment tu montres l'implication réciproque?

romu >

Soit (E,d) un espace métrique dans lequel toute intersection décroissante de fermés non vides dont le diamètre tend vers 0 est non vide.

Soit alors une suite de Cauchy de E.

Pour n entier naturel, posons

Il est facile de voir que est une suite de fermés non vide.
Reste à monter le diamètre tend vers 0.

La suite est de Cauchy, donc il existe une suite réelle positive de limite nulle telle que pour tout entier p, on a :

.

ça veut donc dire que pour tout entier k supérieur à n, .
Par suite, comme est dense dans , on aura également

pour tout x et y dans et donc par définition de la borne supérieure, on a donc :



et donc tend vers 0.


Ainsi, est non vide ce qui veut exactement dire que la suite de Cauchy admet une valeur d'adhérence et donc qu'elle converge.

D'où (E,d) est complet.

Kaiser

waouh

merci Kaiser pour cette démo bien soignée

Bonsoir à tous!

Kaiser-> Très bien expliqué, mais je crois que tu as fait une erreur typographique:

dans la définition des Fn, il faut des

Tigweg

merci à vous deux !

Tigweg > mais de quoi parles-tu ?

Kaiser

Ah, tu as déjà rectifié!
C'est vrai que tu as un accès direct aux petites retouches

salut tigweg, de retour sur l'île?

Salut romu, en ce moment un peu!
C'est bien quand même des fois les maths!

Tigweg

Salut tout le monde

Salut fusionfroide

comment ça "défois"?

une petite précision (mais bon sans conséquence) :

on aurait plutôt pour tout x et y (je n'ai pas mis le 2).

Kaiser

Moi j'aurai corrigé sans le dire

romu> Peux-tu préciser ta question?

Il te demande de t'expliquer sur la phrase: "C'est bien quand même des fois les maths!".


_{Ayoub, traducteur officiel de l'.}

non je m'imaginais que tu en faisais tout le temps des maths tigweg, vu que tu est prof de maths (mais c'est vrai que tu m'avais dit que tu ne considérais pas les maths du lycée comme des vrais maths )

Ayoub> Merci, c'est justement ça le noeud du problème!

_{Tu prends les chèques restaurant?}

romu> Exactement, mais les raisons ne s'arrêtent pas là:
selon les périodes, je ne manifeste pas le même intérêt même pour les maths que je juge "intéressantes".

Tigweg

je comprends, gérer une classe ça ne doit pas être de tout repos.