Un fabricant de médicaments souhaite produire un comprimé sous forme de tablette parallélépipédique rectangle.

les contraintes de fabrication sont:
_la largeur doit être comprise entre 3 et 12mm,
_la longeur doit être égale à 2 fois la largeur,
_ le volume doit être de 576mm^3.(cube)
Compte tenu de ces comtraintes, le fabriquant souhaite que la somme "S" des aires des différentes faces du comprimé soit la plus petite possible.

A) On note "x" la largeur de la tablette et "h" sa hauteur.

     1) Calculer le volume de la tablette à l'aide de "x" et de "h".
     2) En déduire l'expression de "h" en fontion de "x".
     3) Calculer alors S(x) en mm^2 en fontion de "x".

B) Soit P la fontion définie sur [3;12] par P(x)=2x^3-432.

     1) Calculer P(6).
     2) Vérifier que, pour tout "x" de [3;12],
          P(x)=(x-6)(2x^2+12x+72).
     3) Etudier le signe de P(x).
          (on admettra que, pour tout x de [3;12] , 2x^2+12X+72>0).

C) Soif f la fontion définie sur [3;12] par:

                    f=x^2+(432/x)
                                 (diviser)
     1) Calculer f'(x) pour tout x de [3;12].
     2) A l'aide de B, donner le tableau de viariation de f.
     3) Représenter graphiquement f dans un repère orthonormal.

D):
     1)Vérifier que S(x)=4f(x)
     2) En déduire que S(x) admet un minimum que l'on précisera. Pour quelle valeur de x est-il atteint?


Je vous remercie beaucoup de m'aider merci merci.