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Pouvez vous svp m aider c est trop important !
Bonjour s'il vous plait aidez moi il me faudrait un corrigé complet de cet exercice notre prochain devoir portera sur ce style et je voudrais donc réviser dans de bonne conditions merci bcp d'avance !!
1ère partie:
On note j le nombre complexe e^(2ipi/3).
On sait que j admet les propriétés suivantes :
a)j = (-1/2) + i (
3))/2
b) j^3 = 1
c) 1 + j + j² = 0
d) -j² = e^(i 
/3)
1) Dans un repère orthonormé direct du plan, on considère les points M, N, P d'affixes respectives m, n et p.
a) Montrer que, si le triangle MNP est équilatéral direct, alors m-n=-j²(p-n).
b) Etablir la propriété suivante: le triangle MNP est équilatéral direct si, et seulement si, m + nj + pj² = 0
2 eme partie:
On considère un cercle de centre O et des points A, B, C, D, E, F de ce cercle tels que les angles (OA, OB), (OC,OD), (OE,OF) aient la même mesure ( /3). Soient M, N, P les milieux respectifs des cordes [BC], [DE], [FA].
Montrer que le triangle MNP est équilatéral direct.
Merci beaucoup d'avance !!
Bonjour Antoine,
J'avais déjà répondu à la première partie dans un autre message :
je me cite :
"Bonjour,
1) Si on pose Z=(m-n)/(p-n).
On a : module de Z = MN/PN=1
argument de Z = angle orienté(NP,NM) = -pi/3 (car le triangle MNP est équilatéral
direct).
Donc Z = e(-pi/3)=-j².
D'où l'égalité que l'on te demande de montrer.
2) Pour cette question, on utilise l'égalité que l'on vient
de montrer et l'égalité 1 + j + j² =0 pour la simplifier.
Pour la réciproque, je te laisse la faire... "
Pour la 2ème partie :
il suffit de se placer dans un repère bien choisi, de calculer les affixes
m,n,p des points M, N, P et enfin de vérifier que
m+nj+pj²=0 pour conclure.
@+
bonjour
permettez moi de vous répondre.
1ère partie:
On note j le nombre complexe e^(2ipi/3).
On sait que j admet les propriétés suivantes :
a)j = (-1/2) + irc(3)/2
b) j^3 = 1
c) 1 + j + j² = 0
d) -j² = e^(i /3)
1) Dans un repère orthonormé direct du plan, on considère les points
M, N, P d'affixes respectives m, n et p.
a) Montrer que, si le triangle MNP est équilatéral direct, alors m-n=-j²(p-n).?
Dans le triangle équilatéral MNP :
le vecteur MN a pour affixe : n-m
le vecteur NP a pour affixe : p-n
comme MNP est équilatéral l'angle MNP vaut:
MNP=Pi/3 mod (2Pi).
comme le triangle MNP est équilatéral alors les deux cotés ||MN|| et ||NP||
sont égaux.
donc le vecteur NM est l'image du vecteur NP par la rotation d'angle(MN,NP)=Pi/3
mod (2Pi).
ceci est équivalent à m-n=exp(iPi/3)(p-n)
comme -j² = e^(i Pi /3)
donc : m-n=-j²(p-n)
b) Etablir la propriété suivante: le triangle MNP est équilatéral direct
si, et seulement si, m + nj + pj² = 0
à partir de la relation démontrée en a) m-n=-j²(p-n)
on déduit :
m-n+j²p-j²n=0
m+(-1-j²)n+j²p=0
comme 1+j+j²=0 donc -1-j²=j
donc
m+jn+j²p=0.
2 eme partie:
On considère un cercle de centre O et des points A, B, C, D, E, F de
ce cercle tels que les angles (OA, OB), (OC,OD), (OE,OF) aient la
même mesure ( Pi/3). Soient M, N, P les milieux respectifs
des cordes [BC], [DE], [FA].
Montrer que le triangle MNP est équilatéral direct. ?
pour cette question il me semble qu'il manque une donnée au problème.
je peut la démontrer si (OB,OC)=(OD,OE)=(OF,OA)=Pi/3 mod (2Pi)
car dans ce cas :
m=aexp(i(Pi/3+Pi/6)=aexp(i3Pi/6)=aexp(iPi/2)=i a
n=ic
p=ie
m+jn+j²p=ia+ijc+ij²e
=i(a+jc+j²e)
comme ACE est un triangle équilatéral donc d'après la première partie:
a+jc+j²e=0
donc m+jn+j²p=0
donc ANP est un triangle équilatéral.
voila
regardez vos données s'ils manquent qq précisions.
bon courage.
Merci bcp pour votre aide mais nan il ne mank pas de donné le professeur
nous a demander de le demontrer a l'aide de la formule de la
première partie 2)b) aidez moi svp !!!
pour la derniere question ACE n'est pas equilateral, pourriez
vous expliquez comment inclure les affixes de a..... dans celle de
m,n,p?
je suis rendu sur le même point de cet exercice et je ne trouve pas non plus, je ne comprend pas comment obtenir les affixes de m, n et p ...
J'ai trouvé ca pour la deuxieme partie, http://www.maths.net/devoir/_2753.htm, j'ai mis en place le même raisonnement mais sur la fin, je ne comprends pas les simplifications opérées et notamment comment c=-jd et e=-jf dans quel cas tout serait bon, mais en posant X fois la chose je n'aboutit jamais a c=-jd et e=-jf.
Bon, autant résoudre le problème. Je ne suis pas sûr qu'il soit encore d'actualité mais bon... Terminons tout de même! 
Je m'occupe de la Deuxième Partie!
On sait que: i) (OA;OB), (OC;OD) et (OE;OF) ont la même mesure: /3
ii) (A, B, C, D, E, F)
C (cercle de centre O)
OA=OB=OC=OD=OE=OF (rayon du cercle!)
DONC Les triangles OAB, OCD et OEF sont équilatéraux directs.
Ainsi, les points B, D et F sont respectivement les images des points
A, C et E par la rotation de centre O et d'angle /3!
i) b=ei /3(a - o) +o = -j²a (/!\ ei /3 n'est pas l'affixe de E mais la forme exponentielle de -j²!)
ii) d=ei /3*c..........= -j²c
iii) f=...................= -j²e
|OR M, N et P sont les milieux de [BC], [DE] et [FA]
| m = (c+b)/2 n= (e+d)/2 p = (a+f)/2
Calculons 2(m +nj +pj²)
2(m +nj +pj²) = c+b + j(e+d) + j²(a+f)
| = c-j²a + ej+j(-j²c) + j²a+j²(-j²e)
| = c-ej -j3c - j4e
| =-ej-j4e
| = -j(e+j3e)
2(m +nj +pj²) =0
CONCLUSION:
Le triangle MNP est équilatéral direct. (Application du travail antécédent!)
Petite erreur dans la fin, un "+" est devenu "-". La bonne réponse:
2(m +nj +pj²) = c+b + j(e+d) + j²(a+f)
| = c-j²a + ej+j(-j²c) + j²a+j²(-j²e)
| = c-ej + j3c - j4e
| = -ej + j4e
| = -j(e-j3e)
2(m +nj +pj²) = 0
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