Bonjour
J'ai réalisée mon exercice est je voudrais savoir si il est corect et si il manque des indications. Si c'est le cas pouvez vous m'aider. Merci d'avance.
Exercice
Soit la fonction numérique f définie par f(x) = (x² + 3x) / (x² + x + 3) et C sa courbe dans un repère orthonormal du plan (O, i, j).
Unités : 2 cm.
Etude de f :
1.Déterminer son ensemble de définition
2. Etudier son comportement aux bornes de son ensemble de définition.
3. Etudier son sens de variations et dresser son tableau de variations.
Partie B :
Soit D, la droite d'équation y = t x
1. Discuter selon les valeurs de t, le nombre de points d'intersection de C et Dt.
2.a. Déterminer les valeurs de t pour que Dt soit tangente à C.
lndication : Ecrivez l'équation de la tangente en un point d'abscisse a, puis déterminez a de façon à ce que cette tangente passe par O.
b. Calculer alors les coordonnées des points de contact.
3. Dans le cas où Dt, coupe C en deux points distincts A et B autres que O, on appelle I le milieu de [AB].
a. Montrer que les coordonnées de I sont xi = (1 - t)/(2t)(abscisse du milieu I) et yi = 0,5(1 - t).(ordonnée de I).  
b. On veut déterminer l'ensemble de ces points I lorsque t prend toutes les valeurs de R (on dit alors que t décrit R). On procède de la manière suivante :
- Trouvez une relation indépendante de t entre les coordonnées (xi ; yi) de I, relation de la forme y = g(x). Il en résulte que I appartient à la courbe fixe C' représentant la fonction g ainsi mise en évidence. Le problème est de savoir si I décrit toute cette courbe C'.
- On pose alors la question suivante lorsque t décrit R, l'abscisse xi de I décrit-elle tout R ? Sinon quelle partie de R ? Selon la réponse, déduisez l'ensemble des points I.

Réponses :
1. La fonction est définie si son dénominateur est différent de 0
x²+x+3=0 n'a pas de racine (delta=-11)
donc il ne s'annule pas
Df = IR
2. limite de 1 (vers l'infini) = 1
limite de (1 + 3/x) / (1 + 1/x + 3/x²) vers l'infini = 1
donc limite de f vers l'infini = 1 * 1 = 1
3. Décroissanrte, croissante, décroissante
Partie B.
Partie B
on a y = t x donc t x = x (x + 3) / (x^2 + x + 3) (équation en x)
1° solution x = 0 et y = 0(quel que soit t): la droite et la courbe passent par l'origine
Etudions ce qui se passe pour x non nul; on a:
t (x^2 + x + 3) = x + 3 (on sait que x^2+x+3 n'est pas nul) soit encore t x^2 + (t -1) x + 3 (t -1) = 0 (équation E)
* si t = 0 x = -3 et y = 0 (2° point d'intersection)
* si t non nul , le discriminant D de cette équation de degré 2 vaut
(1 - t) (1 + 11 t) , qui s'annule pour t = 1 ou pour t = - 1 / 11
** si t > 1 ou si t < -1/11 on a D<0: pas de solution (autre que (0;0) )
** si t = 1 le point (0;0) est un point triple (point d'inflexion) et la tangente en ce point a pour équation y = x
** si t = -1/11, le point de contact est double;la tangente en ce point a pour équation x + 11 y = 0 et le point de contact a pour coordonnées ( -6; 6/11)
** si -1/11 < t < 1 la droite d'équation y = tx coupe la courbe (C) en deux points A et B (en plus de l'origine)
ces points ont pour abscisses xA et xB et on a xA + xB = (1-t)/t (somme des racines d'une équation de degré 2) et le point I, milieu du segment AB a donc pour abscisse (1-t) / 2t et l'ordonnée de I est donc égale à yI = t xI = (1-t)/2
en éliminant t entre xI et yI (en remplaçant par exemple t par y/x), on obtient y = x / (2x+1) (hyperbole)
Mais I n'existe que si A et B existent donc si -1/11 < t < 1, soit
-1/11 < t = (y/x) = (1/(2x+1)) < 1; il te reste à résoudre ces 2 inéquations en x