salut,

un extrait du forum énigmes, que tu peux retrouver là :

1) Le PPCM, c'est quoi ?
De mon temps, ça s'appelait PPCM ou PPMC, soit "Plus Petit Multiple Commun".
Les appellations ont peut-être changé mais le principe reste le même.
Il consiste à trouver, entre deux ou une plus grande quantité de nombres, le nombre le plus petit possible qui soit un multiple parfait de chacun d'eux.
(Nota : multiple parfait = multiple sans qu'il y ait de reste, par exemple 24 est un multiple parfait de 12, parce que ça se divise par un nombre et que le reste est zéro)
Ainsi, 2 et 3 ont pour plus petit multiple commun le nombre 6, qui est le premier à pouvoir être divisé exactement par 2 ou 3.
Ainsi encore, 2, 3 et 4 ont pour PPCM le nombre 12.

2) A quoi sert le PPCM ?
Le PPCM sert à compléter, transformer ou résoudre certaines opérations mathématiques.
L'application pratique la plus importante du PPCM est celle qui consiste à trouver un dénominateur commun à plusieurs fractions n'ayant apparemment aucun rapport entre elles. Par exemple : 3/5 + 2/3 + 1/2.
Mais le PPCM a de nombreuses autres applications, tant théoriques que pratiques. Il est par exemple beaucoup utilisé en algèbre, où il permet de transformer des systèmes d'équations.

3) Je veux un exemple du PPCM !
Reprenons l'exemple cité plus haut, à savoir l'addition de 3 fractions dont les dénominateurs n'ont rien en commun.
Il s'agissait de 3/5 + 2/3 + 1/2.
Le PPCM permet de trouver un multiple commun à chacun des dénominateurs.
Sans expliquer, pourquoi (on verra comment faire plus bas), postulons que le PPCM des dénominateurs 5, 3 et 2 est le nombre 30.
Pour trouver le résultat de 3/5 + 2/3 + 1/2, on ramène chacune des fractions à son expression sur le PPCM, c'est à dire à un dénominateur commun.
On peut alors écrire que :
3/5 + 2/3 + 1/2 = 18/30 + 20/30 + 15/30
(On a multiplié le numérateur et le dénominateur de 3/5 par 6, car 6 est le multiplicande de 5 pour obtenir 30, on a multiplié le numérateur et le dénominateur de 2/3 par 10 car 10 est le multiplicande de 3 pour obtenir 30, on a multiplié le numérateur et le dénominateur de 1/2 par 15 car 15 est le multiplicande de 2 pour obtenir 30.)
D'où l'on peut tirer alors que 3/5 + 2/3 + 1/2 = (18 + 20 + 15) / 30 = 53/30.

4) Comment calcule-t'on le PPCM ?
Commençons d'abord par réfuter une théorie communément admise.
Par exemple, on a 4 nombres a, b, c et d.
Selon certains, pour trouver le PPCM de ces 4 nombres, il suffit d'effectuer le produit a*b*c*d.
Ce produit est effectivement un multiple commun des 4 nombres, et il arrive qu'il soit le PPCM, comme dans l'exemple des nombres 5 , 3 et 2 que nous avons donné plus haut.
Mais le PPCM n'est pas toujours égal à ce nombre, il arrive fréquemment qu'il soit plus petit.
Exemple : le PPCM de 2, 4 et 8 n'est pas 64, mais 8 ! Ou celui de 3, 5, 10 et 15 n'est pas 2250 mais simplement 30.

Pour obtenir le PPCM d'une quantité quelconque de nombres, on réduit d'abord chacun de ces nombres en un produit de nombres premiers, chacun d'eux devant être le plus petit possible.
Puis, on forme le PPCM en faisant le produit de chaque facteur rencontré et en l'affectant du plus grand exposant rencontré pour ce facteur.

Voici un exemple.
Trouver le PPCM de 84, 90 et 13745.
1) on décompose chaque nombre en un produit de facteurs premiers :
on a donc :
84 = 2 * 2 * 3 * 7
90 = 2 * 3 * 3 * 5
13745 = 5 * 5 * 7 * 7 * 11
2) On a rencontré les facteurs suivant : 2, 3 , 5, 7 et 11.
3) On forme le PPCM en faisant le produit de ces facteurs après les avoir affecté du plus grand exposant rencontré.
d'où :
PPCM = 2² * 3² * 5² * 7² * 11 = 485100

Voilà, vous savez l'essentiel de la base du PPCM.

J'espère que ça t'a aidé.

Pookette

Voir également ce fil récent : (en bas)
Proportionnalité

Bonjour
prend un exemple simple
Si on a trois fractions 1/2;1/3;et 1/5.
si tu dois les additionner, tu commences par réduire au même dénominateur, et comme 2;3 et 5 sont premiers entre eux, le dénominateur commun sera
2*3*5=30
30 est le PPCM (plus petit commun multiple) de 2;3;5.
si l'on cherche le PPCM de trois nombres quelconques, on commencera par les décomposer en facteurs premiers
par exemple 150=2*75=2*3*25=2*3*5²
90=2*3²*5
225=3²*5²
le PPCM sera 2*3²*5² (on prend le produit de tous les nombres premiers des trois décompositions et cela à la puissance la plus élevée rencontrée)
dans une proportionnalité inverse, tu as, dans le calcul que tu dois faire, une recherche de dénominateur commun, et à partir de là, tu auras forcément à procéder à une recherche de PPCM
Bon travail

Je crois qu'avec des explications aussi claires je ne peux que comprendre le ppcm - et merci beaucoup pour le détail est les exemples -
Ce que j'aimerais savoir aussi c'est en quoi ce ppcm est utile pour calculer une proportionalité inverse?
Merci par avance

Euh... as-tu regardé mon lien ci-dessus. Il y a justement un exemple.