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Niveau école ingénieur
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Précision d'une approximation par un polynôme de Taylor

Posté par
shaiyken
03-01-18 à 02:57

Bonsoir,

je n'arrive pas à trouver comment procéder afin de résoudre l'exercice suivant:

"On souhaite approximer la fonction f(x) = \sqrt[3]{x} par un polynôme de Taylor d'ordre 2 au point  a = 8. Quelle est la précision de cette approximation lorsque  7 \leq x \leq 9 ?"

A) 3 \times 10^{-4}
B) 10^{-3}
C) 8 \times 10^{-3}
D) 10^{-5}

On nous demande la précision, autrement dit l'erreur maximale entre notre approximation et la fonction de base. Je sais que le reste dans notre cas est donné par:

R_2^{f,8}(x) = \frac{f^{(3)}(c)(x-8)^3}{6}

J'ai aussi trouvé la dérivée troisième de f:

\frac{10}{27\sqrt[3]{x^8}}

C'est là que je suis bloqué; je sais qu'il faut majorer l'erreur, autrement dit qu'il faut trouver une borne supérieure. Cependant je ne comprends pas comment faire ça ici et notamment ce qu'on va remplacer au niveau du c et du x. Le problème est que d'habitude on travaille avec une valeur précise à tester, alors qu'ici il va falloir trouver l'erreur la plus grande sur tout un intervalle (2 majorations?).

Merci beaucoup de votre aide!

Posté par
jsvdb
re : Précision d'une approximation par un polynôme de Taylor 03-01-18 à 03:47

Bonjour shaiyken.
tu commences par majorer |f^{'''}| sur [7;9] par une constante M. Mieux encore, trouver M=||f^{'''}||_\infty
Puis tu appliques la formule d'estimation de reste : \forall x \in [7;9],~|R_3(x)| \leq \dfrac{M|x-8|^3}{3!}\leq \dfrac{M}{6}.
Reste à trouver M.

Posté par
shaiyken
re : Précision d'une approximation par un polynôme de Taylor 03-01-18 à 04:18

Merci,

Pour M je j'évalue ma fonction en 7 (pour obtenir un plus petit dénominateur) et j'obtiens \frac{10}{27\sqrt[3]{7^8}}, ce qui divisé par 6 me donne 3.44 \times 10^{-4} , la réponse B serait-elle donc la bonne? (Je prends B car c'est le nombre supérieur le plus proche de ce que j'obtiens, je suis sur que mon erreur ne sera pas au-delà).

Si ma réponse est bonne je me posais une dernière question; cet exercice fait partie d'un examen où nous n'avons pas droit d'utiliser une calculatrice, donc il faut qu'on puisse trouver la réponse à la main (à la limite en trouvant encore une autre borne supérieure relativement proche), or ici avec le 7 sous la racine c'est clairement impossible à calculer et le seul chiffre proche de tout ça qui rend les choses faciles c'est 8, mais 8 étant plus grand que 7, le résultat final est plus petit et on est pas sur que c'est une erreur max..

Posté par
shaiyken
re : Précision d'une approximation par un polynôme de Taylor 03-01-18 à 04:27

Ah et je me demandais aussi; j'ai calculé le polynome de taylor d'ordre 2 et je l'ai évalué en 7 ainsi qu'en 9 et j'ai calculé les erreurs en ces 2 points en prenant la valeur absolue de la différence entre l'approximation et la fonction évaluée en ces points, et j'ai obtenu respectivement 2.22 \times 10^{-4} et 2.63 \times 10^{-4}. Ces 2 valeurs m'étonnent beaucoup parce que:

-l'erreur en 9 est  plus grande que celle en 7, ce qui contredis mes calculs précédents
-l'erreur la plus grande suggérerait que la réponse A) soit la bonne

Posté par
shaiyken
re : Précision d'une approximation par un polynôme de Taylor 03-01-18 à 14:36

up

Posté par
jsvdb
re : Précision d'une approximation par un polynôme de Taylor 03-01-18 à 16:34

Citation :
cet exercice fait partie d'un examen où nous n'avons pas droit d'utiliser une calculatrice

Alors c'est le bon moment de sortir l'artillerie calculatoire : on cherche à encadrer  M=\dfrac{10}{6.27.(7^8)^{1/3}}

On a 8 = 2.3 + 2 donc : M = \dfrac{10}{6.27.49.49^{1/3}}=\dfrac{10}{7938.49^{1/3}}

Par ailleurs 3,5 < 49^{1/3}<4 donc M \leq \dfrac{1}{793.3,5}= \dfrac{1}{2775} et c'est la réponse A) qui s'en rapproche le plus.

Posté par
shaiyken
re : Précision d'une approximation par un polynôme de Taylor 03-01-18 à 18:13

Merci beaucoup

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