Bonjour.
Une homothétie de centre O et de rapport -1 est, selon moi, une symétrie centrale de centre O. Si on la considère en tant qu'application linéaire dans Rⁿ, sa matrice est -I_n.
Son déterminant vaut donc (-1)ⁿ. Ce ne peut être une rotation qu'en dimension paire.
cordialement RR.

ok merci pour ce petit rappel sur les transformations : donc impossible d'exprimer une reflexion ou une symétrie par des rotations ou des translations !

Attention ce n'est pas ce qu'on a dit. On a dit qu'une certaine homotétie n'était pas une rotation en dimension 3. Mais une composée de symétrie axiales par exemple est une rotation. D'ailleurs de façon générale en dimension n, toute isométrie directe est composée d'au plus n réflexions (symétries orthgonales par rapport à un hyperplan).

Et bien si c ce que vous avez dit ! Impossible de composer des rotations ou des translations pour obtenir une symétrie ou une reflexion, puisque, en 3D, les matrices de rotation et de translation ont un determinant égal à 1 alors que les symétries et reflexion, un déterminant valant -1. Et composer des rotations revient à multiplier leurs matrices, donc le determinant de la matrice de la transformation resultante restera à 1.

Bonjour, il a été dis que l'on pouvait obtenir une rotation par composées de reflexions (selon l'espace dans lequel ou on travaille on peut choisir une symétrie arbitrairement ) mais on ne peut obtenir de reflexions par composée de rotations (si ce n'est l'identité) pour la raison que tu as énoncée.

Mea culpa, jétait fatigué et en effet la phrase était bien formulée.