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Niveau maths spé
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Préimage et sous-variété

Posté par
Serbiwni
27-11-21 à 22:35

Bonsoir,

Petite question sur les sous-variétés et un théorème qui en parle : je m'intéresse à l'exercice suivant : on considère la fonction f(x, y) = 2x^3 - 5xy + 3y^2 de R2 dans R et on souhaite trouver les valeurs réelles c pour lesquelles l'ensemble f-1(c) est une sous-variété de R2.

J'ai à ma disposition un théorème qui me dit que Soit  f : U \subset \Bbb R^m \to \Bbb R^n une application de classe Ck et de rang constant = r, alors pour chaque point q \in \Bbb R^n, la préimage M = f ^{-1}(q) \subset U est une sous-variété différentiable de dimension m - r.

Le problème est que la correction de l'exercice suggère d'utiliser le résultat suivant : si f : U \subset \Bbb R^n \to \Bbb R est de classe Ck et si df_p \neq 0 en tout point p tel que f(p) = c, alors f−1(c) est une sous-variété de classe C1.
Ce n'est pour moi pas la même chose que le théorème que l'on a vu. En effet la fonction f n'est pas de rang constant sur tout R2, il y a des points où le gradient s'annule donc le théorème n'est pas utilisable d'où le fait que l'on ne l'applique pas ici, mais le résultat présenté par la correction découle-t-il du théorème ?

Posté par
GBZM
re : Préimage et sous-variété 30-11-21 à 10:51

Bonjour,

N'as-tu pas un théorème qui te dit que si f :  V\to \R^n est différentiable (V ouvert de \R^m) et si f est une submersion en p\in V, alors il existe un voisinage ouvert U de p dans V tel que f^{-1}(p)\cap U soit une sous-variété différentiable de dimension n-m ?
D'ailleurs ce théorème est une conséquence assez directe de celui que tu cites : il suffit de prendre pour U un voisinage ouvert de p sur lequel f est submersive (et donc de rang constant égal à n).



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