Bonsoir,

Petite question sur les sous-variétés et un théorème qui en parle : je m'intéresse à l'exercice suivant : on considère la fonction de R² dans R et on souhaite trouver les valeurs réelles c pour lesquelles l'ensemble f^-1(c) est une sous-variété de R².

J'ai à ma disposition un théorème qui me dit que Soit une application de classe C^k et de rang constant = r, alors pour chaque point , la préimage est une sous-variété différentiable de dimension m - r.

Le problème est que la correction de l'exercice suggère d'utiliser le résultat suivant : si est de classe C^k et si en tout point p tel que f(p) = c, alors f⁻¹(c) est une sous-variété de classe C¹.
Ce n'est pour moi pas la même chose que le théorème que l'on a vu. En effet la fonction f n'est pas de rang constant sur tout R², il y a des points où le gradient s'annule donc le théorème n'est pas utilisable d'où le fait que l'on ne l'applique pas ici, mais le résultat présenté par la correction découle-t-il du théorème ?