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Première répétition

Posté par
flight 06-01-26 à 15:53

Bonjour à tous , je vous propose l'exercice suivant :

On dispose d'un ensemble de n entiers distincts {1,2,…,n}. On effectue des tirages successifs au hasard, avec remise, indépendants et uniformes sur {1,2,…,n}.

On s'arrête dès qu'un entier apparaît pour la seconde fois.

On note X le rang du tirage auquel survient la première répétition.

Quelle est la loi de X et son espérance ?

Posté par
carpediemre : Première répétition 06-01-26 à 20:00

salut

P(X = 1) = 0

P(X = 2) = 1/n^2

P(X = 3) = 2/[n^2(n -1)]

P(X = 4) = 3/[n^2(n - 1)(n - 2)]

je subodore que P(X = k) = \dfrac 1 n \times \dfrac {(k - 1)[n - (k - 1)!]} {n!}

to be continued ...

Posté par
verdurinre : Première répétition 06-01-26 à 20:10

Bonsoir carpediem et bonne année.

P(X=2)=\dfrac1n

Posté par
flightre : Première répétition 06-01-26 à 21:44

Bonsoir carpediem , verdurin ,  en effet P(X=2) n'est pas bon et les autres expressions aussi , merci à verdurin

Posté par
verdurinre : Première répétition 06-01-26 à 22:00

Je n'ai pas cherché mais il me semblerais judicieux de numéroter les lancers à partir de zéro.
Comme ça on a P(X=0)=0, P(X=1)=1/n, . . . P(X=n)=1.

Posté par
carpediemre : Première répétition 07-01-26 à 18:23

effectivement le premier tirage ne compte effectivement pas :

P(X = 1) = 0

P(X = 2) = \dfrac 1 n

P(X = 3) = \dfrac 1 n \times \dfrac 1 {n - 1} \times \dfrac 2 n

P(X = 4) = \dfrac 1 n \times \dfrac 1 {n - 1} \times \dfrac 1 {n - 2} \times \dfrac 3 n

ouais ... ou un truc pas loin ...

plus précisément pour (X = k) on choisit k - 1 entiers distincts et au k-ième tirage on en choisit 1 parmi les k - 1 premiers

donc je dirai  P(X = k) = \dfrac {{n \choose k - 1}} {2^n} \times \dfrac {k - 1} n

donc n 2^n E(X) = \sum_{k = ?}^n k (k - 1) {n \choose k - 1} + ??

avec ?? dépendant de ? suivant qu'on démarre à ? = 1 ou ? = 2 ...

Posté par
verdurinre : Première répétition 07-01-26 à 20:08

Salut carpediem et bonne année 2026.

Il me semble que \text{P}(X=3) =\dfrac 1 n \times \dfrac {n - 1}{n} \times \dfrac 2 n

Posté par
jandri Correcteurre : Première répétition 07-01-26 à 21:12

Bonjour,

on calcule d'abord P(X>k)=\dfrac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{n^k}=\dfrac{n!}{(n-k)!\;n^k} pour 0\leqslant k\leqslant n.

On en déduit P(X=k)=\dfrac{n!\;(k-1)}{(n-k+1)!\;n^k} pour 1\leqslant k\leqslant n+1.

Ensuite E(X)=\sum_{k=0}^nP(X>k)=\sum_{k=0}^n\dfrac{n!}{(n-k)!\;n^k}

Posté par
jandri Correcteurre : Première répétition 07-01-26 à 21:45

La formule qui donne E(X_n) ne se simplifie pas mais on peut l'écrire aussi E(X_n)=\dfrac{n!}{n^n}\sum_{k=0}^n\dfrac{n^k}{k!} d'où l'on peut déduire E(X_n)\sim \sqrt{\dfrac{\pi n}2}

Posté par
carpediemre : Première répétition 08-01-26 à 13:00

merci à verdurin d'être attentif à mes résultats : je me suis retrompé en me corrigeant (nb de choix des suivants) !!

et merci à jandri pour ces résultats

Posté par
jandri Correcteurre : Première répétition 11-01-26 à 09:43

Bonjour,
j'ai caculé d'abord P(X>k) en vue de calculer l'espérance mais on peut obtenir directement P(X=k)=\dfrac1{n^k}\dfrac{n!}{(n-k+1)!}(k-1) (valable pour 1\leqslant k\leqslant n+1) en choisissant d'abord les k-1 premières valeurs (distinctes) puis la valeur qui est répétée.

On peut aussi calculer la loi du rang Y de la deuxième répétition :
P(Y=k)=\dfrac1{n^k}\sum_{i=1}^{k-2}\dfrac{n!}{(n-k+2)!}i(k-2)=\dfrac1{n^k}\dfrac{n!}{(n-k+2)!}\dfrac{(k-1)(k-2)^2}2

Posté par
flightre : Première répétition 12-01-26 à 01:44

Bonjour et Bravo pour vos réponses


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