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PREMIÈRE- somme suite télescopage

Posté par
lordodemer
13-03-21 à 14:01

bonjour à vous!

je suis actuellement bloqué dans un de mes DM à rendre prochainement.
cela concerne la somme des suites avec le signe somme. (je ne saurai pas trop décrire l'exo, donc voici l'image directement)

n'ayant pas travaillé le télescopage et le signe somme en cours de Mathématiques, j'admets que je suis plutôt perdu, surtout que j'ai beaucoup de mal avec les suites en termes général...

bref, voici les questions :
1) Déterminer la valeur exacte des termes S1, S2, S3, S4 de la suite (Sn)

2)a. Dans une feuille de calcul d'un tableur, expliquer comment obtenir "tous" les termes de la suite (Sn), dans une colonne sachant que 1, 2, 3, 4... seront placés respectivement en cellules A1, A2, A3, A4, ... (s'il s'agit de la colonne B, S1, S2, S3, S4, ... seront placés respectivement en cellule B1, B2, B3, B4,...)
b) La suite semble t-elle converger ? Diverger ?

3) Montrer que, pour tout nombre n≥1, le terme général de (Sn) peut s'écrire autrement : Sn = 2(1/1x2 + 1/2x3 + 1/3x4  + ... + 1/n(n+1)

je ne sais pas comment calculer les valeurs exactes des termes de la suite Sn, et je ne saurai encore moins résoudre le reste...
pouvez-vous m'aider?

Posté par
lordodemer
re : PREMIÈRE- somme suite télescopage 13-03-21 à 14:02

j'ai du mal à ajouter l'image, je m'excuse!
la voici :

** image supprimée **

Posté par
Zormuche
re : PREMIÈRE- somme suite télescopage 13-03-21 à 14:57

Bonjour

il faut écrire l'énoncé en entier, l'image se fera supprimer par un modérateur

peux-tu dire où tu es bloqué ?

Posté par
lordodemer
re : PREMIÈRE- somme suite télescopage 13-03-21 à 17:05

bonjour !

ah mince.. j'ai écrit les questions mais c'est vrai que l'énoncé en lui même j'arrive pas ; le signe "somme" est assez difficile à reproduire
voici du coup recopié, au cas où :

Pour tout nombre entier n ≥ 1, on pose : Sn = 1/1+ 1/1+2 + 1/1+2+3 + ... + 1/1+2+3+..+N
Pour information, on peut écrire plus rigoureusement Sn = sigma 1/uk avec uk = sigma I, voire d'un seul "tenant" Sn = sigma 1/sigma I . On rappelle que uk = sigma I = 1+2+...+k = k(k+1)/2

Alors ! Je bloque à la première question (que j'ai écrit dessus) ; il faut déterminer les premiers termes de la suite..
N'ayant jamais manipulé le "sigma" ni le télescopage en mathématiques, je ne vois pas DU TOUT comment faire...

merci d'avance de m'aider !!

Posté par
malou Webmaster
re : PREMIÈRE- somme suite télescopage 13-03-21 à 18:21

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?

Posté par
lordodemer
re : PREMIÈRE- somme suite télescopage 13-03-21 à 18:40

merci beaucoup pour l'explication !et je m'excuse encore énormément, je voulais vraiment pas vous déranger, c'est juste que j'ai pas pris le temps de vraiment "manier" le site.. Encore désolé !

bref je recommence du coup :
Pour tout nombre entier n ≥ 1, on pose : Sn = 1/1+ 1/1+2 + 1/1+2+3 + ... + 1/1+2+3+..+N
Pour information, on peut écrire plus rigoureusement Sn = Sn=\sum{\frac{1}{uk}} avec uk=\sum{i} (I=I)
, voire d'un seul "tenant" avec Sn=\sum{\frac{1}{\sum{i}}}
. On rappelle que uk = \sum{i}
= 1+2+...+k = k(k+1)/2

Posté par
Zormuche
re : PREMIÈRE- somme suite télescopage 13-03-21 à 18:59

Pour les premiers termes, tu peux utiliser l'écriture  S_n = \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1+2}+\dots+\dfrac{1}{1+2+\dots+n}
ça ne devrait pas te poser de problème

Posté par
mathafou Moderateur
re : PREMIÈRE- somme suite télescopage 13-03-21 à 19:13

Bonjour,

sinon, en écrivant en une seule ligne il ne faut pas oublier d'ajouter des parenthèses obligatoires
les espaces ou absences d'espaces n'ont aucune signification , c'est juste pour faire joli
les parenthèses, elles, servent à dire ce qui est au dénominateur (ou au numérateur) et ce qui ne l'est plus.

Sn = 1/1+ 1/(1+2) + 1/(1+2+3) + ... + 1/(1+2+3+..+n)

le bouton X2 sert à mettre ce qu'on veut en indice (l'écrire entre les deux balises [sub] et [/sub] sans les détruire ni modifier)
indispensable pour distinguer Sn+1 de Sn+1
utiliser le bouton Aperçu avant de poster pour vérifier.

(ou en LaTeX si on veut des formules impeccables)

PREMIÈRE- somme suite télescopage

je vous laisse poursuivre, en écrivant correctement.

Posté par
lordodemer
re : PREMIÈRE- somme suite télescopage 14-03-21 à 11:37

re-bonjour!
voici du coup la bonne version (et encore merci de m'avoir aidé)

Pour tout nombre entier n ≥ 1, on pose : Sn = 1/1+ 1/(1+2) + 1/(1+2+3) + ... + 1/(1+2+3+..+n)
Pour information, on peut écrire plus rigoureusement Sn = \sum{\frac{1}{uk}}
avec uk = \sum{i} (i=1)
, voire d'un seul "tenant" avec Sn = \sum{\frac{1}{\sum{i}}}
. On rappelle que uk = \sum{i}
= 1+2+...+k = k(k+1)/2

concernant le 1) pour le calcul des valeurs précises de la suite, ce serait du coup :
s1 = \frac{1}{1}
s2 = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3} et ainsi de suite??
je ne pense pas comprendre, désolé..

Posté par
mathafou Moderateur
re : PREMIÈRE- somme suite télescopage 14-03-21 à 11:58

(ce n'était pas le dernier n qui est en indice, c'est celui de "Sn" )

Sn = 1/1+ 1/(1+2) + 1/(1+2+3) + ... + 1/(1+2+3+..+n)

si n = 1 :
S1 = 1/1 = 1

si n=2 :
S2 = 1/1+ 1/(1+2) = 1 + 1/3
...

si n =4
S4 = 1/1+ 1/(1+2) + 1/(1+2+3) +1/(1+2+3+4)

etc
edit : @Zormuche : j'avais répondu car tu étais marqué "non connecté", tu reprends quand tu veux.

Posté par
lordodemer
re : PREMIÈRE- somme suite télescopage 14-03-21 à 15:16

merci !

alors,
pour la 2)a. Dans une feuille de calcul d'un tableur, expliquer comment obtenir "tous" les termes de la suite (Sn), dans une colonne sachant que 1, 2, 3, 4, ..., seront placés respectivement en cellules A1, A2, A3, A4... (pour la colonne B, S1, S2, S3... seront placés respectivement en B1, B2, B3...)

Je suppose qu'il faudrait qu'on note en cellule B1 la formule S1 = \sum{\frac{1}{\sum{i}}} et qu'on étire la formule jusqu'à un nombre donné (100 par exemple)
Ensuite, on pourra sûrement voir que cette suite admet une somme qui semble infinie mais avec un résultat fini..

Posté par
Zormuche
re : PREMIÈRE- somme suite télescopage 14-03-21 à 15:45

Me revoilà !

Oui, mais comment écrire une somme sur un tableur ? Et quel tableur utilises-tu ?
N'oublie pas que les 1, 2, 3, 4... ne sont pas là par hasard dans la colonne A, tu peux les utiliser pour le calcul

Tu peux aussi remarquer que  S_{n+1}=S_n+\dfrac{1}{1+2+\dots+n+(n+1)}. Vois-tu pourquoi ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : PREMIÈRE- somme suite télescopage 15-03-21 à 11:22

Bonjour,
pas de réaction...

juste une petite astuce sur tableur :
plutôt que de faire le calcul demandé directement dans la colonne B, ce qui nécessite de bien maitriser les adresses absolues et relatives (le "$" dans une écriture du genre (A$1; A2) par exemple)
rajouter une colonne intermédiaire contenant la simple somme des nombres de la colonne A : Un = 1+2+3+...+n
là aussi en formule de récursion Un+1 = Un + (n+1)
et le résultat demandé sera calculé dans la colonne C
ce qui fait que les deux formules des colonnes B et C sont très simples
sans faire intervenir des "sommes de machin à truc variables"

ce qui correspond en fait à la définition donnée "en formule séparées" :

S_n=\sum_{k=1}^n{\dfrac{1}{u_k}} avec u_k=\sum_{i=1}^k{i}

S_n = \dfrac{1}{u_1} + \dfrac{1}{u_2} + ... + \dfrac{1}{u_n} avec u_k = 1+2+...+k
plutôt que les doubles sommes de la formule "d'un seul morceau"

Posté par
lordodemer
re : PREMIÈRE- somme suite télescopage 15-03-21 à 19:33

bonjour !
à vrai dire, j'utilise le tableur sur "Libre office", rien de spécial en somme..

cependant, je vois pourquoi! j'ai réfléchis à la question hier et j'ai trouvé ceci :
en A1 : 1
en A2 : 2,
etc. (on peut entendre..)
et
en B1 : 1
en B2 : B1+ 1/(A1 + A2)
etc.
jusqu'à Bn-1+ 1/(A1 + A2 + ... + An)

j'espère que c'est correct ainsi..

Posté par
mathafou Moderateur
re : PREMIÈRE- somme suite télescopage 15-03-21 à 19:48

le problème est que tu ne peux pas écrire "+...+" dans un tableur.
et tu ne vas pas énumérer toutes les cellules de la somme une à une non plus !
tu dois utiliser la fonction SOMME(1ère case; dernière case) explicitement

et pour que une telle formule puisse s'étendre (tu ne vas pas taper des formules différentes ligne après ligne !!) :

Citation :
...ce qui nécessite de bien maitriser les adresses absolues et relatives (le "$" dans une écriture du genre (A$1; A2) par exemple)



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