salut

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d divise 6n + 13 = 6(n + 2) + 1 et n^2 + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2) => d divise 6(n + 2) + 1 et d divise (n + 1)[6(n + 2) + 1] - 6(n + 1)(n + 2) = n + 1

d divise 6(n + 1) + 7 et d divise n + 1 => d divise 7

or 6n + 13 = -n - 1 [7]  et  n^2 + 3n + 2 = n^2 - 4n - 5 = (n - 1)(n + 5)  [7]

donc 7 divise 6n + 13 <=> 7 divise -n - 1

et 7 divise n^2 + 3n + 2 <=> 7 divise n - 1 ou 7 divise n + 5

or 7 ne divise pas n + 5 - n - 1 = 4
et 7 ne divise pas n - 1 - n - 1 = -2

donc 6n + 13 et n^2 + 3n + 2 sont premiers entre eux

Bonjour,
ils sont premiers entre eux sauf si

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n=7k-1

Bonjour,
J'ai bien sur fait un tableur...

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Ayant constaté que n=-8--->(35;42)
puis par exemple n=20--->(133;462)
non premiers entre-eux:
j'ai constaté qu'il suffisait d'ajouter 7 pour éviter la primalité.
Je vais essayer de le prouver par la congruence.

On peut utiliser l'algorithme d'Euclide pour prouver que ces polynômes ne sont pas premiers entre eux:

Si d divise n²+3n+2 et 6n+13 alors il divise 6(n²+3n+2) - n(6n+13) = 5n+12
Si d divise 6n+13 et 5n+12 alors il divise 5(6n+13) - 6(5n+12) = -7
On peut inverser le signe sans que ça change rien. Donc d divise 7.
Le degré du polynôme est 0 donc on s'arrête. On peut continuer jusqu'à un reste égal à 0 mais c'est inutile ici.

7 n'est pas égal à 1, les polynômes ne sont donc pas premiers entre eux.

On a 6n+13 = 0 [7] => -n-1 = 0 [7] => n=-1 [7] => n=7k-1
On vérifie n²+3n+2 = (-1)²+3(-1)+2 = 0 [7]

On a donc que pour tout les n = 7k-1, les deux polynômes sont multiples de 7.

bonjour

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a=6n+13=6(n+1)+7=6(n+2)+1      (1)
b'=(n+1)(n+2)                                           (2)
d'après 1)  a et n+2 sont premiers entre eux  donc si x divise a et b  x divise a et n+1 donc n+1 et 7    

heureux que l'exercice vous ait plu

Sauf erreur
Avec la congruence:

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On cherche a et b d
On réduit et on arrive à 5n+12 et 6n+13d
On teste et on aboutit à n=6 et d=7