Bonjour, je prépare un cours particulier en Statistiques pour mon élève. Voici mes réponses pour les exercices suivants. Que trouvez-vous ?

Exercice 1
Soit X, une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance u et de variance sigma : X ~ N (4,02). Le logarithme de la vraisemblance de X, est donné par :
LnL=ー[(n/2)In(sigma^2) + n*ln(rac(2pi) + 1/(2(sigma^2))*sum(X_i-u)^2

1. Calculer l'estimateur X de l'espérance u et démontrer que cet estimateur est sans biais.
2. Rappeler la formule générale de la variance empirique s2 en fonction de sigma'^2 et sachant que (n - 1)sigma^2 = n*E(sigma^2), montrer que c'est un estimateur sans biais de s2.  

Réponse Exercice 1

1. Calcul de l'estimateur de l'espérance μ\muμ et démonstration qu'il est sans biais
Considérons une variable aléatoire X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_nX1​,X2​,…,Xn​, indépendantes et identiquement distribuées selon une loi normale N(μ,σ2)\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)N(μ,σ2).
-La fonction de vraisemblance est :
L(μ,σ2)=∏i=1n12πσ2exp⁡(−(Xi−μ)22σ2)L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(X_i - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)L(μ,σ2)=i=1∏n​2πσ2​1​exp(−2σ2(Xi​−μ)2​)
-Son logarithme est :
ln⁡L(μ,σ2)=−nln⁡(2πσ2)−12σ2∑i=1n(Xi−μ)2\ln L(\mu, \sigma^2) = -n \ln(\sqrt{2\pi\sigma^2}) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2lnL(μ,σ2)=−nln(2πσ2​)−2σ21​i=1∑n​(Xi​−μ)2
-Pour maximiser cette fonction, on dérive par rapport à μ\muμ :
∂ln⁡L∂μ=1σ2∑i=1n(Xi−μ)=0\frac{\partial \ln L}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu) = 0∂μ∂lnL​=σ21​i=1∑n​(Xi​−μ)=0
-En résolvant, on obtient l'estimateur :
μ^=1n∑i=1nXi=Xˉ\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \bar{X}μ^​=n1​i=1∑n​Xi​=Xˉ

-Vérification de l'absence de biais :
-L'espérance de μ^\hat{\mu}μ^​ est :
E[μ^]=E[1n∑i=1nXi]=1n∑i=1nE[Xi]=μE[\hat{\mu}] = E\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E[X_i] = \muE[μ^​]=E[n1​i=1∑n​Xi​]=n1​i=1∑n​E[Xi​]=μ

Donc, μ^\hat{\mu}μ^​ est un estimateur sans biais de μ\muμ.

2. Variance empirique et absence de biais

La variance empirique est définie par :
s2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2s2=n−11​i=1∑n​(Xi​−Xˉ)2
On peut démontrer que cet estimateur est sans biais en utilisant la propriété suivante :
E[s2]=σ2E[s^2] = \sigma^2E[s2]=σ2.

Cela provient du fait que (n−1)s2(n-1)s^2(n−1)s2 suit une loi du χ2\chi^2χ2 centrée sur σ2\sigma^2σ2.


Exercice 2 : Intervalles de confiance pour le prix moyen (08 pts)

Un élu prétend que le prix du mètre carré dans un quartier palois est une variable aléatoire de moyenne j=2302€ avec un écart-type inconnu. Un journaliste soucieux de précision décide de vérifier les affirmations de l'élu.
Il contacte une première agence immobilière qui l'indique que sur les 30 dernières transactions effectuées dans le quartier, elle a observé un prix moyen m=2309€ avec un écart-type estimé à 15€. Calculer un intervalle de confiance au seuil de risque a-5% pour , que vous noterez IC_1(u). Que dire de l'affirmation de l'élu sur le prix moyen ?
Sur ce même échantillon de 30 transactions, une seconde agence immobilière indique au journaliste avoir le même prix moyen m=2309€ mais avec un écart type estimé à 19.3€.
Calculer un intervalle de confiance au seuil n=95% pour u que vous noterez IC_2(u). Que dire de l'affirmation de l'élu sur le prix moyen ?
Étant données les précisions des 2 intervalles de confiance, le journaliste peut-il considérer que l'élu a raison? Votre réponse est-elle modifiée au seuil de risque a=1%?


Réponses Exercice 2

Données :
Taille de l'échantillon : n=30
Moyenne observée : m=2309

Intervalles de confiance à 95 % :
Avec s=15s : IC1=[2303.40;2314.60]
Avec s=19.3s : IC2=[2301.79;2316.21]

Intervalles de confiance à 99 % :
Avec s=15  : IC1(99%)=[2301.45;2316.55]
Avec s=19.3s  : IC2(99%)=[2299.29;2318.71]  



Analyse :
À 95 % de confiance :
La valeur μ=2302\mu = 2302μ=2302 n'appartient pas à IC1IC_1IC1​, mais elle est incluse dans IC2IC_2IC2​.
À 99 % de confiance :
μ=2302\mu = 2302μ=2302 appartient aux deux intervalles, IC1(99%)IC_1(99\%)IC1​(99%) et IC2(99%)IC_2(99\%)IC2​(99%).

Conclusion :
À 95 %, les données de la première agence contredisent l'affirmation de l'élu, mais celles de la seconde la soutiennent.
À 99 %, l'affirmation de l'élu est crédible selon les deux agences.
Ainsi, avec un seuil de risque plus strict (α=1%\alpha = 1\%α=1%), l'élu semble avoir raison.