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Prépa : Fonctions
Bonjour,
Je sèche sur un exo qui m'a l'air particulièrement complexe
...
Pourriez-vous m'aider, SVP ?
Voici l'énoncé :
on veut déterminer toutes les fonctions continues sur R telles que :
pour tout (x,y) appartenant à R², f(x+y) = f(x) + f(y).
1. Calculer f(0) et montrer que f est impaire.
2. Exprimer f(n) en fonction de f(1) pour n naturel, puis pour n entier
relatif
3. Exprimer f(p/q) en fonction de f(1) pour p/q rationnel avec (p,q)
appartenant à Z².
4. Pour tout x de R, il existe une suite de rationnels (r(n))
avec r(n)=p(n)/q(n) telle que lim r(n) = x.
En déduire l'expression de f(x) en fonction de f(1).
5. répondre au pb posé.
pour le 2. faut il faire une récurrence? je bloque ...
Merci d'avance .
1/f(0)=0 avec x=y=0
f est impaire avec x+y=0
2/ OUI une récurrence : démontrer par récurrence que f(n)=n*f(1)
pour n entier relatif, utiliser le fait que f est impaire
3/ On a pour tout réel x : f(nx)=f(x+x+..+x) le tout n fois=n*f(x),
n entier naturel puis relatif.
Donc q*f(p/q)=f(p/q*q)=f(p) donc f(p/q)=f(p)/f(q)
4/ Ce résultat est liée à la densité de Q dans R. Le "passage à la
limite" exprimé sous la forme lim f(x(n))=f(lim x(n)) est justifié
par la continuité de f en tout point de R.
5/ Ce sont toutes les fonctions linéaires de la forme
f(x)=x*f(1), avec f(1) réel quelconque
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