Bonjour, je prépare un cours en Statistiques pour mon élève. Voici mes réponses pour les exercices suivants. Que trouvez-vous ?

Exercice 1
Soit X, une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance u et de variance sigma : X ~ N (4,02). Le logarithme de la vraisemblance de X, est donné par :

1. Calculer l'estimateur X de l'espérance u et démontrer que cet estimateur est sans biais.
2. Rappeler la formule générale de la variance empirique s2 en fonction de sigma'^2 et sachant que (n - 1)sigma^2 = n*E(sigma^2), montrer que c'est un estimateur sans biais de s2.  


Réponse Exercice 1

1. Calcul de l'estimateur de l'espérance μ\muμ et démonstration qu'il est sans biais
Considérons une variable aléatoire X1,X2,…,Xn, indépendantes et identiquement distribuées selon une loi normale N(μ,σ2).

-La fonction de vraisemblance est : 1∑n​(Xi​−μ)^2
-Son logarithme est : 1∑n​(Xi​−μ)^2
-Pour maximiser cette fonction, on dérive par rapport à μ\muμ : ∂ln⁡L/∂μ = 0
-En résolvant, on obtient l'estimateur :  X barre
-Vérification de l'absence de biais :
-L'espérance de μ'​ est : μ
Donc, μ'  est un estimateur sans biais de μ.

2. Variance empirique et absence de biais

La variance empirique est définie par : 1∑n​(Xi​−Xˉ)2
On peut démontrer que cet estimateur est sans biais en utilisant la propriété suivante : E[s2]=σ2.

Cela provient du fait que (n−1)*s^2  suit une loi du  chi^2 χ2 centrée sur σ^2.