bonjour

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un triangle de coté 15 et de hauteur 13 me semble une bonne approximation

PS : meilleur au sens de l'erreur sur les cotés :
(plus grand coté - plus petit côté)/plus grand côté

Bonjour,

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En mettant la feuille en format "paysage",  le triangle de sommets A(0,0), B(22,0) et C(11, 19) pour lequel le rapport en question est sensiblement de 2% ne me paraît pas trop mal

salut

juste en passant  :

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choisir un quadrillage 0,5 x 0,5 est la même chose que choisir un quadrillage 1 x 1 en multipliant par 2 ... me semble-t-il ...

donc en travaillent dans Z² ... alors une idée "constructiviste" ... à voir :

prenons un segment de longueur n = 2k + 1 d'extrémité O(0, 0) et P(n, 0)

on peut alors considérer les points de sa médiatrice Q (k + 1, q)

on cherche alors les meilleurs valeurs entières de q tel que

pour toute valeur de k les valeurs de q sont majorées par n grossièrement ...

REM : j'ai choisis n impair pour avoir l'abscisse de Q entière simple ... bien entendu si n = 2k on prendra k (qui donnera une autre solution avec k + 1 par symétrie par rapport à la médiatrice ...

damned !!

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j'ai oublié de blanker !!

larrech tu dis 2%, moi avec tes valeurs je trouve 0.2 %

celui de royannais donne 0.06 %

d'autre part rien ne dit que un côté serait aligné sur le quadrillage
peut on trouver mieux avec un triangle "incliné" ?
je ne trouve pas vraiment mieux que royannais avec des triangles inclinés, mais ajouter un degré de liberté ainsi complique beaucoup...

quant aux unités ...
j'ai parlé de 5mm, on s'en fiche des mm ou cm
l'unité de longueur est la maille du quadrillage, point barre (on compte en carreaux, pas en cm)
je ne donnais des dimensions absolues ("en cm") que pour fixer une taille en nombre de carreaux du terrain de jeu, par rapport à des objets "de la vie de tous les jours".
21 cm x 29.7 cm et des carreaux de 5mm = 42 x 59 carreaux
(coordonnées dans [0; 41]x[0; 59] carreaux)

mathafou

J'avais cherché des valeurs de n qui rendent n(3)/2 le plus proche possible d'un entier. Je ne sais plus pourquoi ensuite je me suis focalisé sur un nombre pair. Cette histoire de petits carreaux sans doute, va comprendre Charles...

Bonsoir,

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avec un côté sur le quadrillage et en utilisant les réduites du développement en fraction continue, je trouve un triangle isocèle de coté horizontal 30 et de hauteur 26.
La réduite suivante ne tient pas dans la page.

En fait c'est la même réponse que royannais.

le même ou pas, selon que l'on compte en cm ou en carreaux ...
on va définitivement parler uniquement en carreaux

15 cm = 30 carreaux et ça n'est pas du tout pareil :
15 carreaux, bof, précision médiocre (3.3 %)
30 carreaux excellente précision (0.06 %)

Bonjour,
C'est tout à fait dans l'esprit "détente".

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Si on garde un triangle  dont la base est sur le bord
On trouve avec coté  24 et hauteur 20.5 (carreaux de 0.5)
une  erreur de 0.10252.
On peut en inclinant trouver  A en 0;0  B  23;42  et C 48;1 un  écart de 0.00283

Bonjour dpi : 0.0028 = 0.28 %

nota : pour avoir 42 (carreaux) il faut que le quadrillage soit au ras du bord de la feuille (1ère ligne exactement sur le bord)
c'est rarement le cas en pratique, d'où mon [0; 41]
mais j'admets ta solution tout de même

la meilleure trouvée jusqu'ici (il y en a deux) donne un écart de 0.06 % (soit 0.0006)
avec beaucoup de patience on peut essayer les un peu plus de 260 positions de B pour A fixé (approximation grossière par l'aire en carreau² de la zone à explorer)

on peut faire faire ça par un ophidien bien dressé ou autre.

En faisant le tour (bourrin)

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Le plus proche est (0;0) (15;26) (0;30) isocèle de coté 30.01666...
et de base 30 soit un écart de  0.0555..%

Bonsoir,
je pense pouvoir démontrer qu'il y a exactement deux solutions optimales avec une erreur relative de .
Sans faire appel à un programme.
Mais ça reste assez bourrin.

Bon dimanche,
Pour les triangles "penchés",je pense que le plus approchant
est A (0;0) B (4;37 C (34;15)  avec en cm   AB 18.608  AC 18.581 BC  18.601 soit un écart de 0.145 %

il y en a un (penché) avec un écart de 0.06%
(cf verdurin)

Les idées principales d'une démonstration.

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On cherche les réduites de et on trouve
La dernière réduite obtenue est trop grande pour tenir dans la feuille même si on la divise par en la mettant en diagonale.
Avec 26/15 on peut faire deux triangles l'un avec un coté de 30 sur une ligne du quadrillage, l'autre avec coté de en diagonale.
Comme ces triangles sont semblables l'erreur relative est la même.

Ensuite on vérifie qu'il n'y a pas de fraction approximant suffisamment bien avec un dénominateur inférieur à 29.
Il n'y a donc pas de triangle isocèle qui fasse mieux que les deux précédents.

Enfin on regarde ce qui se passe avec des triangles ayant trois cotés différents.
Comme les carrés des cotés sont des entiers somme de deux carrés ils sont congru à 0 ou à 1 modulo 4 et il y en a donc deux tels que la différence des carrés soit au moins 4.
Si a est la longueur du plus grand coté l'erreur relative est plus grande que



Comme on a une erreur d'environ pour les triangles dèja obtenu on doit avoir   ce qui est trop grand pour tenir dans la feuille.

Bonjour,
Dans les "penchés" je trouve  A(0;0) B(11;41) C (41;11)
Est-ce le plus proche?
Et bravo à verdurin pour la démo.

oui.

par force brute, on obtient (A (0, 0) :

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12 triangles avec ecart < 0.25% (et symétriques)
B (15, 4), C (4, 15) ecart = 0.21%
B (19, 11), C (0, 22) ecart = 0.21%
B (26, 7), C (7, 26) ecart = 0.21%
B (30, 0), C (15, 26) ecart = 0.06%
B (30, 8), C (8, 30) ecart = 0.21%
B (33, 11), C (7, 34) ecart = 0.21%
B (37, 4), C (15, 34) ecart = 0.14%
B (38, 0), C (19, 33) ecart = 0.21%
B (41, 3), C (18, 37) ecart = 0.24%
B (41, 11), C (11, 41) ecart = 0.06%
B (44, 0), C (22, 38) ecart = 0.21%
B (45, 4), C (19, 41) ecart = 0.1%

4 triangles avec ecart < 0.2%
B (30, 0), C (15, 26) ecart = 0.06%
B (37, 4), C (15, 34) ecart = 0.14%
B (41, 11), C (11, 41) ecart = 0.06%
B (45, 4), C (19, 41) ecart = 0.1%

3 triangles avec ecart < 0.1%
B (30, 0), C (15, 26) ecart = 0.06%
B (41, 11), C (11, 41) ecart = 0.06%
B (45, 4), C (19, 41) ecart = 0.1%

Une question suite à la précision apportée par Mathafou dans son deuxième message : la meilleure approximation sur les côtés est-elle aussi la meilleure approximation sur les angles ?

Imod

en ajoutant le calcul d'angles à mon programme ça ne change rien dans le cas du triangle
les meilleurs pour les angles seuls sont aussi les meilleurs pour les cotes seuls
(les moins meilleurs non)

Bravo à mathafou pour son programme.
On a vu le pentagone sur un autre fil et je crois qu'on va regarder l'hexagone ensuite.
Je me demande si il ne faudrait pas donner une « prime » aux plus petites solutions.

Par exemple les solutions (0;0),(4;15),(15,4) et (0;0),(19,11),(0;22) ont la même précision, on a deux triangles semblables qui correspondent à la réduite 19/11 de 3.
Il me semble qu'en un sens le premier triangle est meilleur car plus petit.

On devrait pouvoir dégager une notion de « meilleure approximation entière » d'un polygone régulier ( ou non régulier ).

euh : un hexagone = 6 triangles équilatéraux

quant aux triangles semblables
(0;0),(4;15),(15,4) est effectivement une réduction de de l'autre : le coté BC étant aligné sur une diagonale descendante du quadrillage
alors que l'autre a un côté aligné sur le quadrillage lui-même l'usage en est donc différent
et donc le grand a des côtés presque entiers (l'un d'eux l'est même exactement !)
alors que le petit non : il a tous ses côtés irrationnels : et

Pensez-vous judicieux de tenter l'heptagone "régulier"

Avec Geogebra / Python etc
il n'est pas plus compliqué de le faire avec 7, 8, 9, 10 ...
un copier-coller-modifier
voire mieux une boucle "for" ou un "sequence" ...
_{(je vais m'y mettre à modifier mon programme dans ce sens ... il y a quelques "défis" de programmation derrière)}

mais je pense que plus le nombre de côtés est élevé et plus l'écart sera grand, ainsi que la disparité entre écart sur les angles et écart sur les côtés, ce qui va beaucoup diminuer l'intérêt "pratique" de la chose.

vite fait avec Geogebra (B est à déplacer à la main ...)

une erreur dans mon calcul d'angles
(j'avais inversé les sommets et du coup les angles étaient 360° - l'angle)
env 128° pour un angle d'heptagone, c'est mieux !
avec un angle plus grand et le même écart absolu, l'écart en % était sous estimé

ce fichier est disponible sur Geogebra

Bonjour

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Je propose l'hexagone suivant( en cm )
A ( 7,0) ; B (3.5, 6) ; C (-3.5, 6)  ; D (-7,0) ....
précision 0,768 % sur les cotés, exactitude sur les angles

Bonjour,

L'octogone régulier est assez bien représentable.

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Si on constate que 24234
Donc A (17;0)  B(5;5) C( 0;17) D (5;29)  E( 17;34) F( 29;29)G(34;17)
H(29;5)
les 8 cotés mesurent 13 carreaux  soit 6.5 cm
les angles  sont très approchant  134.76°/135°

royannais :
un angle de 120° ne peut pas être réalisé exactement sur un quadrillage.
tes angles font 120.256° et 119.487° (écart 0.64%)

dpi : d'accord

pour l'hexagone on part du triangle de verdurin (0;0),(19,11),(0;22)
et on obtient 0.21% sur les cotés et 0.17% sur les angles
(précision meilleure que pour le triangle de départ car les angles sont plus grands)

Le programme de force brute en Python donne pour l'heptagone
(sommets au point le plus proche des sommets théoriques)

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si les deux erreurs toutes deux < 3%
[(0, 0), (14, 0), (23, 11), (20, 25), (7, 31), (-6, 25), (-9, 11)]
cotés de 14.0 a 14.318, écart = 2.22%, angles de 126.87°, à 130.45°, écart= 2.744%
et
[(0, 0), (14, 11), (14, 29), (0, 40), (-17, 36), (-25, 20), (-17, 4)]
cotés de 17.464 a 18.0, écart = 2.976%, angles de 126.87°, à 129.806°, écart= 2.262%

si on cherche le meilleur pour les côtés :
[(0, 0), (18, 2), (28, 17), (22, 34), (5, 40), (-11, 31), (-13, 13)]
cotés de 18.028 a 18.385, écart = 1.942%, angles de 125.698°, à 131.202°, écart= 4.195%
(celui donné précédemment par recherche manuelle)

et si on cherche le meilleur pour les angles :
[(0, 0), (13, 13), (11, 31), (-5, 41), (-22, 35), (-28, 18), (-18, 2)]
cotés de 18.028 a 18.868, écart = 4.453%, angles de 128.346°, à 128.88°, écart= 0.415%